S6300963

przykra⁰*

d) Niech

ponadto

,    / _ i oraz x'ń ---dla n € N. Wtedy mamy lim x'_n — 0 oraz lim x” = 0

_d) Niech *n - _n ^u    ---

n

1 1 lim --t— = lim ——

n—-co    ~rr    n—*oo 1 + e" 1 + OO OO

1 + e ”

¹ =i=0

oraz

,. 1 1 1 lim -J— = urn --aa ---

n—»oo    "TT    n—oo 1 + e ⁿ    1+0

1 + e ⁿ

Otrzymaliśmy różne wartości, zatem granica lim -— nie istnieje.

_e) Niech*; = (²-^Tl)

1 + e^:

= (2 d---—^ dla n € N. Wtedy dla każdej

| n + 1 /

liczby naturalnej zachodzą nierówności x'_n < 4 oraz x'ń > 4. Ponadto lim x'_n — 4 oraz

n—♦oo

lim x'ń = 4. Obliczając teraz granice wartości funkcji I y/x I dla tych ciągów otrzymamy

«~*0O    ^J

oraz x,

lim I \/xź.\ — hm a/( 2--~r')    = lim I2--—- I

n-00 L J n-oo \\    71+1/    n — oo L 71+ 1J

lim 1 = 1

oraz

|²+ —^l— L n + i

I^J =

Ponieważ otrzymaliśmy różne wartości, więc granica lim I y/x\ nie istnieje, f) Niech x'_n — —nn oraz x'ń — —nn + — dla n € N. Wtedy mamy lim x'_r

4    n—*oo

lim x_n = —00. Ponadto

n—* 00

—x'_n ,    ⁿⁿ

lim e sin 2x_n — lim e    sin(—2nn) = 0

= lim

n—-♦00

= lim 2 = 2.

oraz

__x"

lim e sin 2x^ = lim e

nn — -r

7    /    n \    7i7r — ~

sin f —2nn + — ) = lim e    =

\    2 /    n—»oo

= OO.

Otrzymaliśmy różne wartości, zatem granica

lim e sin 2x

X —♦ — 00

nie istnieje.

g) Niech x'_n = 7T - \ oraz x" = w + i dla n € N. Wtedy    = * ora* Jirar: = *

Zatem

n

lim 2

n—*oo

Ctgx_r

ń _ ₂^Ctg (* ń) _ ₂ ^ctg n __ 2"°° ss 0.

Podobnie

.. ctgx" ^ctg (* + 7) ₂^ctg « hm 2    =2    ” *

o*