1673068237

18

ZBIGNIEW BLOCKI

Dowód. Dla 2 € K(zo, R) niech r i A będą takie, że \z — zo\ < r < R oraz r/R < A < 1. Wtedy dla n odp. dużego mamy Ij/|a_n| < A/r, zatem

n₂

Y a_n(z-Zo)ⁿ n=N₁

N₂

< \^an(z~

n=Nx

zo)ⁿ\ < Y \ⁿ

n=Ni

X^Nl

1 - A

0,

gdy Ni —> oo. Z warunku Cauchy’ego zbieżności otrzymaliśmy zatem bezwzględną i jednostajną zbieżność szeregu na K(zo,r).

Z drugiej strony, jeżeli \z — zo\ > R, to istnieje podciąg a_Uk taki, że "ł/|a_nfc| > 1/|z — zq\, co oznacza, że |a_nk(z — 2o)^nfe| ł 1, nie jest zatem spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu. □

Koło K(zq, R) z Twierdzenia 7.1 nazywamy kołem zbieżności, zaś R promieniem zbieżności szeregu (7.1). Formuła (7.3) na promień zbieżności szeregu potęgowego nosi nazwę wzoru Cauchy’ego-Hadamarda. Zauważmy, że promień zbieżności szeregu (7.1) jest dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje M > 0 takie, że dla n odp. dużego mamy |a_n| < Mⁿ - wtedy R > 1/M.

Twierdzenie 7.1 nie rozstrzyga zbieżności szeregu potęgowego na brzegu koła zbieżności.

Przykłady. Kołem zbieżności każdego z szeregów V zⁿ, V —, V —z jest K(0,1).

Z—/ L—J _n Ł—J _nz

i)    Szereg Y1 zⁿ j^es^ rozbieżny we wszystkich punktach z brzegu koła zbieżności.

ii)    Szereg ^zⁿ/n² jest zbieżny bezwzględnie na brzegu.

iii)    Szereg ^zⁿ/n jest rozbieżny w 1 i zbieżny warunkowo na dK(0,1) \ {1}

(| Ćwiczenie |).

iv)    | Ćwiczenie] Pokazać, że istnieje rosnący ciąg liczb naturalnych p_n oraz gęste podzbiory A+, A_ c dK(0,1) takie, że z^Pn = ±1 dla z € A±. Stąd szereg z^nPn/n jest rozbieżny w A+ i zbieżny warunkowo w .

Istotną własnością szeregów potęgowych jest jednoznaczność ich współczynników.

Propozycja 7.2. Załóżmy, że szeregi potęgowe ^2a_n(z — zo)ⁿ oraz ^2 b_n(z — zo)ⁿ są zbieżne do tych samych wartości na zbiorze A takim, że zq jest punktem skupienia A. Wtedy a_n — b_n dla wszystkich n.

Dowód. Bez straty ogólności możemy założyć, że b_n = 0 dla wszystkich n. Przypuśćmy, że a_m t^O dla pewnego m i wybierzmy najmniejsze takie m. Wtedy

^2 a„(z - z₀)ⁿ = (z- z₀)^m a_n+_m(z - zo)ⁿ, z f z₀.

n=0    n=0

Szereg o ^an+m{z—Zo)ⁿ, zbieżny do pewnej funkcji ciągłej w otoczeniu Zq (dzięki Twierdzeniu 7.1), znika dla z (=. A, zatem znika również w zq, czyli a_m = 0 -sprzeczność. □

Przykład. Rozpatrzmy ciąg Fibonacciego (1202):

ao = 0, ai = 1, a_n = a_n-2 + a«-i, n = 2,3,...