426907375

18

Wykład 3

Dowód

Dla uproszczenia załóżmy, że v jest klasy C¹ (dowód tylko przy założeniu różniczkowalności jest nieznacznie trudniejszy). Podobnie jak w dowodzie twierdzenia Peano definiujemy funkcje x_n(t), jednak zamiast ustalonego a priori ciągu T; = <o + ~ ■ definiujemy Tj indukcyjnie. Mając dane n, bierzemy Tj+i = r* + A„, o ile

x_n(Ti) + (F(n, x„(ri)) + e_n)(t - n) > v(t)    (3.4)

dla każdego t: Tj < t < r, + A„, gdzie ciąg e„ jest dowolnie ustalony, tak, żeby e_n 0, np. e„ = £. Jeśli nierówność (3.4) nie zachodzi, to 7j+i definiujemy jako najmniejsze t, dla którego w (3.4) jest równość. Jeśli stałe A_n są dostatecznie małe (w szczególności A_n \ 0; zależą od e_n), to ta druga sytuacja zachodzi nie częściej niż dla co drugiego j. Zatem w skończonej liczbie kroków dojdziemy do t\, końca przedziału. Z konstrukcji mamy x_n(t) > v(t) oraz x_n(t) =} x(t), więc x(t) > v(t).

□

Uwaga

Bez założenia jednoznaczności otrzymujemy powyżej, podobnie jak w dowodzie Tw. Peano, istnienie rozwiązania x(t) > v(t), jako jednostajnej granicy podciągu x_n(t).

v(t₀)

Rysunek 3.2: Ilustracja dowodu różniczkowej wersji lematu Gronwalla

Uwaga

Wersja całkowa lematu Gronwalla wynika łatwo z wersji różniczkowej, przy czym funkcja liniowa x i-> K-x w wersji całkowej może być zastąpiona dowolną ciągłą funkcją F(t,x), rosnącą ze względu na x.

Dowód

Oznaczmy, jak w dowodzie Lematu 3.1 U(t) = G + J_tQ F(v(s))ds. Po zróżniczkowaniu otrzymujemy U(t) = F(v(t)). Stąd, korzystając z założenia v(t) < U(t) i monotoniczności F, otrzymujemy U(t) < F(U(t)) więc z Lematu 3.2 U(t) < x(t), a stąd v(t) < x(t), gdzie x(t) oznacza rozwiązanie problemu Cauchy’ego jak w Lemacie 3.2 dla C < x(to)-

□

Twierdzenie 3.2 (Ciągła zależność rozwiązań problemu Cauchy’ego od warunku początkowego) Jeśli F jest określona na G C Rx R^m i lipschitzowska ze względu na x G R^m. natomiast </>(xo,t) = u(t) jest rozwiązaniem problemu Cauchy’ego dla u(to) = Xq, na [to_;ti], a (f){yⁿ,t) = v_n(t) są rozwiązaniami problemu Cauchy’ego dla yⁿ —> xo, wysyconymi na (t'_n, t"). to lim inf > fi oraz v_n(t) -4 u(t) dla to < r < t\.