5038598788

Definicja 17. Niech ll ł>ędzie zbiorem Klinicznym. Dla / € k[j:\.....j\,j wpro

wadzamy oznaczenie

D/-{*€«':/(*)* 0},

są to oczywiście otwarte podzbiory IV.

Udowodnimy tenty wygodny w pracy z topologią Zaris kiego lemat.

Lemat 18. Niech H' ludzie zbiorem algebraicznym. Wówczas rodzina {Dt : f € fcjzi,..., x_n|} jest bazą topologii Zanskiego na IV.

Dowód. Niech U będzie otwartym podzbiorem IV. Wówczas IV\U jest zbiorem afinicznym, a więc jest opisany przez układ wielomianów    Stąd

U = Df_t U...UD/,.

□

Stwierdzenie 19. IV odniesieniu do topologu Zaruskiego zachodzą następujące fakty.

1.    Każdy zbiór ąuasi-afiniczny jest ąnasi-zwarty.

2.    Każdy zbiór ąuasi-afiniczny jest T\.

3.    Każdy zbiór ąiiusi-ajiniczny jest noetherawski (izn. każdy zstępujący ciąg domkniętych podzbiorów stabilizuje się).

4- Jeśli U jest ąuasi-afiniczny. A C U. .4 - merozkładolny, to ~A C U jest nicmzkiadalny (domknięcie bierzemy w U).

Dowód. Niech IV będzie zbiorem afinicznym oraz U C IV jego otwartym podzbiorem oraz niech [i^:t}teT będzie pokryciem otwartym tego zbioru. 7. lematu możemy założyć, że Ut = /?/, dla pewnych wielomianów f_t, czyli

ł€T

Rozważmy ideał J (ft )teT- twierdzenia Hilberta o bazie istnieje skończony układ wielomianów {<7*}JL, taki, że J = (flt)JL,. Każdy wielomian g^ należy jednak do ./, więc może zostać zapisany jako stosowna skończona kombinacja wielomianów /, ze współczynnikami z fc[xi____,x_nJ. Niech {/*}£_, będą

wszystkimi wielomianami z rodziny {ft}tcT użytymi do zapisania wielomianów {&}fc=i " opisanej formie. Wówczas ./ = (/{))=, Z założenia, dla każdego x 6 U istnieje l C T takie, że ft(x) f- 0. Jednak f, € a więc Istnieje również indeks / € {1,.... -V) o własności fi(x) £ 0. Zatem

.v

t/cUO/,-

JrM

4