img506 (3)

Test 1.

Cranica i ciągłość funkcji

N iecli W(x) = ax ⁴ - x² + 1. Wówczas:

I u) dla dowolnego a g R lim IV(x)- lim W(x),

*-*-oo    *->+oo

I b) dla dowolnego a e R lim W(x) = lim W(x) = +oo,

*-*-00    *-*+00

I c) istnieje a e R , dla którego lim W(x) = lim W(x) = -oo.

*—>—co    *-*+oo

Nieeh IV(x) = x² + ax + b, P(x) = x⁴ — x² + 1. Wówczas:

P(x)

n) lila dowolnych a, b e R lim —= +oo,

W(x)

b)    dla dowolnych a, b e R lim W(x)= lim P(yfx),

*-*+oo    *—»+co

c)    dla dowolnych a,b gR lim(f+(x)-x² ) = -qo.

*->-oo

x² — 4

Jeżeli /(x) =-, to:

x² -x -2

u) lim f(x) nie istnieje,

*-»2

b)    lim /'(x) nie istnieje,

*-*-1

c)    / jest ciągła w punkcie x₀ = 3.

Wykres funkcji /(x) = ——— :

| x | -1

u) ma asymptotę pionową o równaniu x= 1,

b)    ma asymptotę pionową o równaniu x = -1,

c)    jest symetryczny względem osi OY.

lim ,

5. I ,ic/ba u

' *" slx t

□ a) jest wymierna,

1

□    b) spełnia równanie a² +•- =-

V 4    3    '

□    c) jest jedną z wartości funkcji f(x) = 2 + sin (2002x).

6. Rozważmy równanie: -Ja + 2 = a .

CU a) Równanie to ma dwa rozwiązania.

□ b) Jedynym rozwiązaniem tego równania jest liczba a = lim (Vx² + 4x \lx ^!

X-M-oo

dla x ^ 0

x    , gdzie a jest rozwiązaniem danego równał

2\x

□ c) Funkcja /(x) =

a dla x = 0 lewostronnie ciągła w punkcie x₀ = 0.

7.    Jeżeli a = lim _s b = n_{m ;} to:

*-^>-⁰⁰ 2 + x    2-x

CU a) a-b = 0,

□    b) a²-b² = 0,

CU c) punkt P(a, b) jest odległy od początku układu współrzędnych o więcej niż

8.    O funkcji / wiadomo, że jej wykres ma asymptotę poziomą (obustronną) o ró y=-1 oraz asymptoty pionowe (obustronne) o równaniach x=- 2 i x = 1. Wynika / ti

□    a) istnieją skończone granice lim/(x) oraz lim/(x),

x~>~2    _x —>1

□    b) istnieją skończone granice lim /(x) oraz lim/(x),

X->-<0    JC-H-00

□    c) / jest malejąca w przedziale (1, +qo).

9. Niech /(x)-x² + a,g(x) —x + b (a, b e R). Określmy funkcję F(x) = i ^ ^ ^ ^t"’¹

[g(x) dla

Wówczas:

□    a) istnieje taka para liczb a i ń, że lim F(x) = lim F(x) ,

x->0~    x-»0⁺

□    b) dla dowolnych liczb a i b funkcja F jest ciągła w zbiorze R - {0},

□    c) dla dowolnych liczb a i b takich, że a = b funkcja F jest ciągła w punkcii