1935182613

5

0.2. LICZBY RZECZYWISTE.

Przykład 0.1.2 Pokażemy, że dla każdej liczby naturalnej n € N zachodzi 6|7ⁿ — 1. Niech

2 = {n € N : 6|7" - 1}.

Oczywiście 0 G z, niech n E N, to wtedy

7"⁺¹ - 1 = T • 7 - 1 = 7"(6 + 1) - 1 = 7" • 6 + T - 1.

Pierwszy składnik jest podzielny przez 6, natomiast 7" — 1 jest podzielne przez 6 (bo n € z) a więc 7”⁺¹ — 1 jest podzielne przez 6. Tak więc n + 1 € z, co na mocy zasady indukcji matematycznej dostajemy N C z. Więc własność podzielności o jakiej tu mowa została wykazana.

0.2 Liczby rzeczywiste.

Definicja 0.2.1 (Liczby rzeczywiste) Za zbiór liczb rzeczywistych (R, •,+,<) możemy uznać każdy zbiór spełniający następujące aksjomaty:

1.    Liczby wymierne są podzbiorem liczb rzeczywistych Q C R,

2.    (R, •, +) jest ciałem (abelowym),

3.    (R, <) jest porządkiem liniowym takim że:

(\/x, y G R) x < y -» (3r e Q) x < r < y,

(V«, y, z € R) a: < y to x + z < y + z,

(Var, y € R) x > O, y > O to xy > O, x > O to ->(—x > 0),

4- (Aksjomat Dedekinda) jeśli A,BcR niepusty podział R, to istnieje liczba rzeczywista c G R, taka żec G A ic jest największym elementem zbioru A lub c€ B ic jest najmniejszym elementem zbioru B.

Definicja 0.2.2 (Ograniczenie górne) Mówimy, że zbiór A C X jest ograniczony z góry wtedy i tylko wtedy gdy

(3c € X)(Va € A) a < c.

Definicja 0.2.3 (Kres górny) Mówimy, że zbiór ograniczony z góry A C X ma kres górny c € X wtedy i tylko wtedy gdy c jest najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru A (A (Z X jest ograniczony z góry wtedy i tylko wtedy gdy istnieje c € X takie że a € A to a < c).

Twierdzenie 0.2.1 (O kresie górnym) Każdy niepusty podzbiór ograniczony z góry D c R ma kres górny.