Ebook7

44 Rozdział 2. Ciąyi liczbowe

Zatem za no można przyjąć dowolną liczby naturalną większą lub równą 4* — 2. Liczbę no można wyrazić następująco

{1    dla £ > log₃ 4

[4«| - 2 dla 0<ffs$log₃4.

Stąd wynika, że lim Iog_n4.o4 = 0.

n-*oo

e) Korzystając z Definicji 2.8, pokażemy, żc lim \/2n -I- 4 = -foo.

n—»oo

Nieeb a będzie dowolną liczbą dodatnią. Podobnie jak w poprzednich przykładach wyznaczymy liczbę naturalną no taką, że dla każdego n > no (n € N) spełniona bę<lzie nierówność

\/2n +1 > a.

Ponieważ

\/2n -I- 4 > a n > ~— 2,

więc za no można przyjąć dowolną liczbę naturalną większą lub równą ^ —2. Zatem

1    dla 0<a<V6

no

- 2 dla « ^

Stąd wynika, że lim i/2n -t- 4 * 4-oc,

Tl —OO

d) Korzystając z Definicji 2.9, pokażemy, że lim (—5 • 3" -f 2) = -00.

n—00

Niech (3 będzie dowolną liczbą ujemną. Należy znaleźć liczbę no 6 N taką, żc dla każdego n > no (n € N) spełniona będzie nierówność

-5 • 3ⁿ + 2 < p.

Wtedy

—5 • 3" + 2 < (3 n > log-,

2 -13 5

Zatem liczbę no można wyrazić wzorem n<) Stąd wynika, że lim (-5 • 3” 4- 2) = -00.

n—00

IWordzenle 2.1. Każdy ciąg ma co najwyżej jedną granicę.

I sierdzenie 2.2. Jeżeli ciąg jest zbieżny (do granicy właściwej lub niewlaJ• < iulej), to każdy jego podciąg jest zbieżny do tej samej granicy.

¹ 'waga 2.1. Ciąg, '■ którego można wybrać dwa podciągi z różnymi gi un mmi (właściwymi lub niewłaściwymi), nio ma granicy.

' W/YKbAl) 4. Wybierając odpowiednie podciągi, uzasadnić, żc m- i lm« i< i i Milen ciągu <> wyrazie ogólnym

ROZWIĄZANIE.

Wybieramy dwa podciągi («2Jt) > («2fc-i) tego ciągu:

4lb^a-4 ‘^{K }}    ~ \k² — 4'

2(2fc-l)²    ,    ^_₂    8^-8A:-f2

(2k — 1)^ - 4 ¹    '    4Ar²-4fc-3'

Mląd

lim =

k—oo

Ponieważ dwa wybrane podciągi są zbieżne do różnych granic, więc na podstawie Uwagi 2.1 rozważany ciąg (a„) nie ma granicy.

lSvlor< lżenie 2.3. Każdy ciąg zbieżny do granicy właściwej jest. ogumi liany.

I sierdzenie 2.4. Jeżeli ciąg («„) jest. uisnąey i ograniczony z góry (małe flfCy i ograniczony z dołu), to ciąg ten jest zbieżny do granicy właściwej.

i HZYKbAl) 5. Zbadać zbieżność ciągów określonych rekurencyjnie: •) A| * 3, «„+i = ^(dn - 2), n £ 1, b) b\ « v/2, 6_n+i = \J2 -t- 6_n, u ^ 1.