DSC07023 (4)

34

Ciągi liczbowe

Zatem *a no można przyjąć dowolną liczbę naturalną większą lub równą £* - l.

Uwaga*; Korzystając z funkcji część całkowita liczbę no można wyrazić wzorem

Ti    du;0<£< yl,

"•“'t £(£’)-! d>»

b*) Mamy pokazać, że

A V A[(« >"o) =* (»•+»* 5. e)].

XX) no€N n€M ^L

Niech £ będzie dowolną liczbą dodatnią. Musimy znaleźć liczbę no 6 N taką, że dis każdego n > no spełniona będzie nierówność n^e + n² > £. Mamy

n* + n^a > £ <== n^a > £ <=> n > \/£.

Zatem za no można przyjąć dowolną liczbę naturalną większą lub równą \/?-Uwaga*. W miejscu oznaczonym (•) wykorzystaliśmy oczywistą nierówność n +n > n dla n € N. Stosując funkcję cżęść całkowita liczbę no można wyrazić wzorem

■jjjr. iS®

"⁰~\ E.{Ve) dla £ Ż l.

c) Mamy pokazać, że

A V A => (5-2" <£)].

£<0 n&ęfl n&i

Niech l będzie dowolną liczbą ujemną. Musimy znaleźć liczbę no G N taką, że dla każdego n > no spełniona będzie nierówność 5—2" < £. Mamy

5 - 2ⁿ < £ *=» n > log, (5 - £).

Zatem za no można przyjąć dowolną liczbę naturalną większą lub równą Iog₂ (o — £). Uwaga*. Korzystając 2 funkcji część całkowita liczbę no można wyrazić wzorem

no = E [log_a (5 - £)] .

Twierdzenia o granicach właściwych ciągów

• Przykład 1.7

Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów obliczyć podane granice: 3* -*¹    an® -3h* + 2

a) lim

4* - 3*

lim -;

■—00 n

•>)

lim

r.—co

|5 - 10n⁵ d)

log₃ (n+1)

e) lim

im (V^

f) Hm

n—*oo

(n^a + 1) (2W- 1)1 (2n+ 1)1 + 1

Przykłady

U

Rozwiązanie

- 0-0

-Q

.) „.n |f-=jO    litu ij) ₌ jgŁ(!)"-Ji=L UY

W miejscu oznaczonym (•) korzystaliśmy z rówoofci litn ą" = o. gdrir < l. Kotzyw-talMmy takie z twierdzeń o granicy różnicy i Uaraau dąfl&w.

5    *4*

lim fi—*?

b)

(5r»° - 3n* -ł-2)

•SS* (o — lOn^e) , «•

a

JSŁ*~iŁiff + JŁg _5-04.q i

_Um » _ Um 10    0—10    2

r* < — U* « ■ oc

W rozwiązaniu korzystaliśmy z twierdzeń o granicy sumy. róialcy oraz Uomu riągfim

C, lin, *5+1^ II,„ XElZ = i^ = 0.

*1 'M n ^ł * n 'OS    *    *    .. _rt ,»r«JiłC>'

granicy aumy ^ofa* ® “’

W powyższym przykładzie korzystaliśmy * twierdzenia ^ pierwiastka.

d) U,„ »5Bifr + i> = Um t^-ZTT = ^,im ‘^.³ = ‘⁰*^,X

^} n"5* Iogj(r» + 1)    n—oo frg,(n + 1)    *—

log, 3

___ u>gti.

W miejacu oznaczonym (-) kor*yirtuliśmy zc wzoru ^lo*-^{b== U}*'“ o) W rozwiązaniu wykorzystamy wzory:

v/3 = V?, gdzie o 0;    ^ ~ (^z-ł-

Mamy