47468 S6300939

41

przykłady

Rozwiązań fen) nierówności -- < c Jest n > —, zatem 7,11 no można przyjąć dr/wolną

liczbę naturalną większą lub równą Wówczas każda liczba naturalna n > n<> spełnia « *

nierówność — < <r, a zgodnie /, implikacją (*) także; niorówność —-—-- -•    —-------- < a.

ⁿ    n (v^/^w^r+ 1 + 3n)

Uwaga*. Korzystając /, funkcji czyść całkowita liczby //-o można wyrazić wzorom

no *«

dl a 0 < e .< 1, dla £ > 1.

d) Mamy pokazać, że

A V A [(^n>n°) *** (|^lognfi⁵-°| <*)]•

ł>0 noCN nCN

Niech £ będzie dowolną liczbą dodatnią. Musimy znaleźć liczbę no € N taką, że dla każdego n > no spełniona będzie nierówność Jlog„₊₁ Oj < e. Mamy

l

|log_n+, 5| - log_n+J 5 < e <=* n > 5* - 1.

i

Zatem za n₀ można przyjąć dowolną liczbę naturalną większą lub równą 5« - 1. Uwaga*. Korzystając z funkcji część całkowita liczbę no można wyrazić wzorem

dla e > log₂ 5, dla 0 < £ ^ log₂ 5.

no

e) Mamy pokazać, że

A V A [(^n>n°)    (l^“¹l^<e)]*

c>0 no€N n€N

Niech e będzie dowolną liczbą dodatnią. Musimy znaleźć liczbę no € N taką, że dla każdego n > no spełniona będzie nierówność J \/E - l| < e. Mamy

i_

| ^/5 — lj =    — 1 < £ <==> 5ⁿ < 1 + £

<=> - < log₅(l +£) n

1

Iog₅(l + ff)

Zatem za no można przyjąć dowolną liczbę naturalną większą lub równą j₀g"Yj —J Uwaga*. Korzystając z funkcji część całkowita liczbę no można wyrazić wzorem

1    dla £ > 4,

dla 0 <e ś 4

no m l 1

log₅(l +e)