1109145098

gdzie wektor 'prędkości kątowej oj jest taki sam dla wszystkich punktów bryły i określa chwilową prędkość kątową w płaszczyźnie prostopadłej do osi chwilowego obrotu o kierunku określonym przez oj. W kartezjańskim układzie współrzędnych, którego początek leży w środku masy i który porusza się z bryłą mamy

Vk ~ £kimUix_m, r — r₀ = a^ej, oj - c^ej,    (35)

gdzie £kim j^est symbolem permutacyjnym. Współrzędne £j, w przeciwieństwie do wektorów bazy nie zmieniają się w czasie.

Dowód związku (34) jest oparty na obserwacji, że kinematyka bryły sztywnej wynika całkowicie z kinematyki trzech dowolnie wybranych punktów, nie leżących na jednej linii

prostej. Ponieważ ich odległości nie ulegają zmianie mamy
ki - ^r2l	—	const ==> (ri — r2) • (fi — r2) = 0 (fi - f2) = 0J12 x (n - r2),
In ^_r3l		const => (ri - r3) • (fi - f3) = 0 (fi - f3) = oj\3 x (n - r3),	=»•
kż - r3|		const =» (r2 - r3) • (f2 - f3) = 0 (f2 - f3) = <*>23 x (r2 - r3).	—
Eliminacja prędkości z	tych trzech związków prowadzi do zależności

<*>13 x (n - r₃) - oj 12 x (ri - r₂) = oj23 x (r₂ - r₃),

lub po przekształceniu

(<*>i3 — <*>12) x ri + {oj\2 — 0J23) x r₂ + (<*>23 — <*>13) x r₃ = 0.    (36)

Ten związek zachodzi dla dowolnego wyboru ri,r₂,r₃ tylko wtedy, gdy

<*>12 ⁼ <*>13 = <*>23 =: oj.    (37)

gdzie wektor oj jest niezależny od wyboru punktu. Wynikiem jest wzór (34). Pęd p i kręt k bryły sztywnej są określone wzorami

p = J prdV = Mi₀,    (38)

k = J pr x rdV = ro x p+ p (r - ro) x [u>x (r - r₀)] dV,

L>

gdzie wykorzystano fakt redukcji względem środka masy. Ostatnią całkę można przekształcić następująco

p (r - r₀) x [u;x (r - r₀)] dV =

— / p [(r - r₀) • (r - r₀) <*> - <*>• (r - r₀) (r - r₀)] dV = Joj,

12