Cialkoskrypt
7

32

i. Pojęcia podstawowe

Z przedstawienia geometrycznego pochodnej wzdłuż danego kierunku widać, że

~ - |gradcp|. ds

Gdy wektor e pokrywa się z wektorem gradcp, miara gradientu równa się pochodnej wzdłuż tego kierunku. Dochodzimy więc do wniosku, że gradcp ma ten kierunek, w którym pochodna kierunkowa funkcji cp osiąga wartość maksymalną, przy czym wartość gradientu |grad<p| równa się maksymalnej wartości tej pochodnej. Zrównania (1.1) jako iloczynu skalarnego wynika, że

= jV(p||ej cos(V(p, e) = |V(p| cos 0,

co oznacza, że wartość pochodnej kierunkowej jest równa rzutowi |grad(p| na oś kierunkową e.

Pochodna funkcji pola wektorowego wzdłuż danego kierunku

Rozważmy w polu wektorowym wyznaczonym przez funkcję pola

y(x, y, z) — Tv _x (x, y, z) + ] V _y (x, y, z) + kv_z (x, y, z)

dwa sąsiednie punkty wyznaczone przez wektory miejsca:

1) punkt P:    r = xi + yj + zk,

2) punkt Pi:    r + dr = (x + dx)i + (y + dy)j + (z + dz)k.

Przy przejściu od punktu P do punktu P, funkcja pola zmieni się o pewien przyrost, który jest określony różniczką

ć)v ć)v ć)v dv = —-dx + —dy + — dz. 5x 3y dz

Można ją też napisać w postaci:

m

dv -

•7 5v - 3v i —*■ J cr—H dx dy

(1.2)

gdzie Vv jest pewną diadą (diada zależy tylko od miejsca, z którego wychodzimy, dr zależy od kierunku wyznaczonego przez punkty P i P, i ich odległości). Jeśli wektor dr wyrazimy wektorem jednostkowym 6 o tym samym kierunku co wektor dr: dr = eds, to wzór (1.2) przyjmie postać: dv = Vv • eds, skąd

(1.3)

dv -— = Vv • e. ds

1. Pojęcia podstawowe

/

33

Wektor dv/ds (wzór 1.3) nazywamy pochodną funkcji v pola wektorowego wzdłuż danego kierunku e .

1.4. Dywergencja i rotacja

Operator V traktujemy formalnie jako wektor, można więc utworzyć iloczyn skalarny i wektorowy wektora V z dowolnym innym wektorem. Jeśli

' y(x,y,z) = Tv_x(x, y,z) + jv_y (x,y,z) + kv_z(x, y,z)

jest pewną funkcją pola wektorowego o składowych v_x, v_y, v_z, to skalar

V • v =

3x

-3 r 3 j	h
^+ J^^+ &J	\I V;
3vx 3vy	jK
3x 3y	dz

: divv

kv_z)=

nazywamy dywergencją albo rozbieżnością pola V, a wektor

_ - ,'r B - 3 r d Vxv= i — + i—--t-k — 3x dy dz

(iv_x + jv_y +kv₂),

(

3^

3y 3z

+ J

^^Vx 3v_z 3z 3x

3x 3y

= roty

rotacją pola V .

Rotację wektora można zapisać, podobnie jak iloczyn wektorowy dwóch wektorów, w postaci wyznacznika:

= V x v =

rotv

i j k _3_ _3_ d_

3x 3y 3z ’ przy czym formalnie iloczyny elementów drugiego i trzeciego wiersza należy uważać za pochodne cząstkowe odpowiednich funkcji (elementy wiersza drugiego są operatorami działającymi na funkcję o składowych przedstawionych w wierszu trzecim), np.

3 3