Cialkoskrypt6

50 I. Pojęcia podstawowe

przez jej zamianę na całkę względem objętości, gdy S jest powierzchnią paraboloidy o równaniu z = x² + y², ograniczoną w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych, oraz powierzchnią walcową o równaniu x² +y² =1 (jest to zatem powierzchnia zamknięta, rys. 1.23).

Rozwiązanie

Pochodne cząstkowe funkcji podcałkowych przyjmują postać:

P(x, y,z) = xz => —- = z, dx

R(x,y,z) = y z => — = y .

dz

Współrzędne punktów należących do objętości zawartej pod wycinkiem paraboloidy opisane są w przedziałach:

0 < x < 1,    0<y<Vl-x²,    0<z< x² + y².

jjxzdydz + x²ydxdz + y²zdxdy = ||j(z + x² + y²)dxdydz =

1    \/7—x²+y²

= [dx J dy J (z +x² + y²)dz = jdx J

i ¥ l“X

2 2 x +y

o o

o o

—+ z(x² + y²)

dy.

Po podstawieniu granic całkowania oraz po wprowadzeniu współrzędnych biegunowych: 0<(p<7t/2 i 0<r<l otrzymamy:

t ! Vl-x^    _    ₀ n/2    1    _n k/2    61'    i

_?jdx } (x^J + y²) dy = ₇ jd<pjr³dr = - J^| ^d(P = --f = f-

0 o

o o

o ⁶lo

ZADANIE 1.5.14

Obliczyć całkę o postaci

c|(x + z)dx + (x - y + 2z)dy + (y - 4x)dz,

L

gdy kontur pokazany na rys. 1.24 jest trójkątem.

Rozwiązanie

Przy rozwiązaniu posłużymy się twierdzeniem Stokesa o zamianie całki względem konturu na całkę względem powierzchni utworzonej przez ten kontur.

Funkcje podcałkowe przyjmują odpowiednio wartości:

P(x,y,z) = x-f-z, Q(x,y,z) = x-y + 2z, R(x,y,z) = y-4x,

a ich pochodne cząstkowe

3P₌1 3Q _2 dR

3z 3z 3y

=.-4,

Rys. 1.24

BP₌₀ 9Q₌₁ 3R 3y 3x 3x

Zgodnie z twierdzeniem Stokesa otrzymamy:

J (x + z)dx + (x - y + 2z)dy + (y - 4x)dz = [J-ldydz + 5dzdx + ldxdy =

ABC    s

w przypadku dodatniego obiegu powierzchnia S jest górną powierzchnią trójkąta ABC i rozwiązanie powyższej całki odbywa się przez jej zamianę na całki podwójne względem powierzchni D_t, D₂ i D₃, które są rzutami trójkąta na powierzchnie utworzone przez osie układu

jjdydz + 5 j]dzdx + JJdxdy = - jjdydz + 5 JJdzdx + JJdxdy =

S    S    S    D|    D2    d₃

¹    c ¹ , ¹

--h 5--1--

2    2 2

ZADANIE 1.5.15

Przez kanał pokazany na rys. 1.25 przepływa woda o stałej gęstości. Obliczyć sumaryczną wydajność <p wszystkich objętości elementarnych w tej objętości, jeżeli pole prędkości dane jest w postaci: v = a(xy i +yzj + zxk), gdzie a jest stałym współczynnikiem wyrażonym w 1/(m-s).