Cialkoskrypt
5

28 {. Pojęcia podstawowe

Twierdzenie Stokesa

Niech krzywa K będzie brzegiem płata powierzchniowego S zorientowanego w taki sposób, by dodatni obieg na krzywej K dookoła osi normalnej n do powierzchni S był równośkrętny z dodatnim obiegiem na płaszczyźnie xy dookoła osi z (rys. 1.10). W obszarze tym, otaczającym powierzchnię S, niech będą określone funkcje P, Q, R ciągłe wraz z pochodnymi. Zachodzi wówczas równość:

dzdx +

dydz +

. □

Rys. 1.10. Płat powierzchniowy i krzywa całkowania

Rys. Ul. Przesunięcie powierzchni ekwiskalamej

T wierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego

Niech będzie dany w przestrzeni obszar normalny V, ograniczony jedną powierzchnią regularną S. Zachodzi zatem twierdzenie:

Jeżeli funkcje P, Q, R są ciągłe wraz z pochodnymi P_x, Q_y, R_z wewnątrz obszaru V i na jego brzegu S, przy czym brzeg jest powierzchnią regularną zorientowaną na zewnątrz obszaru V, to

Uf

3P 3Q 3R

dx dy dz

dV = JJ(Pcosa + Qcosj3 + Rcosy)dS. □

Twierdzenie Greena

Całkę krzywoliniową {(Pdx + Qdy) względem krzywej zamkniętej płaskiej

K

można zamienić na całkę podwójną na podstawie twierdzenia:

Jeżeli P(x,y) i Q(x,y) są ciągle wraz z pochodnymi P_y i Q_x wewnątrz i na brzegu obszaru normalnego D (ze względu na obie osie współrzędnych), przy czym brzeg K obszaru D jest skierowany dodatnio, to

f (Pdx + Qdy) = f jf " ^]^dxdy' ^D

d V'

Definicja pola

Jeżeli każdemu punktowi pewnego obszaru przyporządkujemy pewną wartość liczbową, to obszar ten nazywamy polem skalarnym. Podobnie, jeżeli każdemu punktowi pewnego obszaru przyporządkujemy pewien wektor, to obszar ten nazywamy polem wektorowym. □

Pole skalarne

Oznaczmy funkcję pola skalarnego przez cp(x, y, z). Punkty, w których funkcja pola tp ma stałą c (np. cp(x, y) = x² + y², cp(x, y) = l/xy), tworzą na ogół pewną powierzchnię ekwiskalarną. Przy przesuwaniu się po powierzchni ekwiskalarnej (rys. 1.11) nie zmienia się wartość funkcji pola, więc jej różniczka dtp = 0. Przy przesuwaniu się natomiast po dowolnej drodze w danym polu wartość różniczki funkcji jest na ogół różna od zera. Aby tę różniczkę wyznaczyć, bierzemy pod uwagę dwa sąsiednie punkty P i Pj danego pola opisane przez wektory miejsca:

1)    dla punktu P: r = x i + yj + zk,

2)    dla punktu Pj: r, = r + dr = (x + dx)i + (y + dy)j + (z + dz)k.

Różniczkę funkcji pola przy przejściu od punktu P do punktu Pi wyraża wzór:

, dtp . dtp , dtp . dtp = dx + — dy + — dz. dx dy dz

Można ją zapisać w postaci iloczynu skalarnego jako

dtp =

i — + j ~ + k~l( idx + jdy + kdz) dx dy dz    '

Pierwszy czynnik tego iloczynu jest zależny. tylko od punktu P. Nazywamy go gradientem pola w punkcie P:

. r dtp -dtp _r dtp gradtp = i ~ + J — + k -. dx dy dz

Drugi czynnik jest wektorem infinitezymalnym:dr = ą - r = idx + jdy + kdz, mającym początek w punkcie P, a koniec w punkcie P,. Jest on zależny od obydwu punktów pola. Można więc zapisać:

dtp - gradcp • dr.

Funkcję pola gradtp zapisujemy często za pomocą symbolu V, zwanego operatorem nabla: