Cialkoskrypt0

38 1. Pojęcia podstawowe

JJv-dA = |}v-ndA= Jfv_ndA,

AA    A

co zapisujemy też w postaci:

{v • dA = J v * ndA = [v _n dA.

AA    A

Dla powierzchni zamkniętej całka ■ dA oznacza różnicę między ilością cie-

A

czy wypływającej z badanego obszaru i wpływającej do niego. Całka ta przedstawia całkowitą wydajność źródeł zawartych w obszarze ograniczonym powierzchnią A. Wydajność tę wyznacza się także ze wzoru (1.4) lub (1.5). Stąd

J f[divvdx = J J V -dA n    a

lub

Jdivvdx-jv-dA.    (1.6)

o.    A

Całkę powierzchniową względem powierzchni zamkniętej A oznaczamy symbolem <j, zatem wzór (1.6) można zapisać w postaci:

Jdivvdx = <jv ■ dA.    (1.7)

n    a

Wzór (1.7) nazywamy twierdzeniem Gaussci-Ostrogradskiego:

Strumień wektora przez powierzchnię zamkniętą równa się całce objętościowej dywergencji tego wektora względem obszaru ograniczonego tą powierzchnią. □ Twierdzenie powyższe wyprowadziliśmy z rozważań nad polem prędkości cieczy nieściśliwej. Jest ono jednak słuszne dla wszystkich pól wektorowych ciągłych i różniczkowalnych. Jeżeli we wzorze (1.7) iloczyn skalarny wyrazimy za pomocą jego składowych, otrzymamy

ni

^Q V

-i--— -f ■

dx dy dz

dxdydz =

/

= $[v_x cos(n,x)+ v cos(n,y)+ v_z cos(n,z)]dA =

= <^(^v _x dy dz + y _y dzdx + ^y _z dxdy).

Interpretacja fizyczna rotacji

Rotację zdefiniowaliśmy jako iloczyn wektorowy. Obecnie rozwiążemy dwa przykłady dotyczące rotacji.

Przykład 1. Wyobraźmy sobie ciało sztywne w ruchu. Ruch ciała w najogólniejszym przypadku może się składać z prędkości obrotowej co = c<i + (3j + yk i prędkości translacyjnej (prędkość w ruchu posuwistym) v₀ =ai +bj + ck, gdzie a, (3, y, a, b, c są funkcjami czasu. Umieścimy na osi obrotu początek układu. Jeżeli wektor miejsca r wyznacza położenie punktu P ciała (rys. 1.16), to prędkość liniowa tego punktu

v = ćoxr + v₀.

Obliczymy rotację tej prędkości:

rotv = rot(ć5xr) + rotv₀ =

I I k		i j k
d d d	i	d d d
dx dy dz	i	dx dy dz
pz-yy yx - az ay - px		a b c

= 2 (a i +pj + yk) = 2ob,

gdzie

(Bxr =

i j k a P y

x y z

= i(pz-yy) + j(yx-az)+k(ay-p),

a rotV₀ =0 ze względu na niezależność a(t), b(t), c(t) od zmiennych x, y, z. Zatem

rot v = 2w =>

Rotacja prędkości liniowej dowolnego punktu ciała sztywnego równa się podwojonej prędkości kątowej ciała.

Znaleźliśmy w ten sposób znaczenie fizyczne rotacji pola prędkości ciała sztywnego.

Przykład 2. Rozważmy ruch cieczy i weźmy pod uwagę infmitezymalny (nieskończenie mały) element objętościowy cieczy wewnątrz niej. Element ten może wykonywać równocześnie trzy rodzaje ruchów:

1)    może poruszać się ruchem transiacyj-nym jako całość,

2)    może być w ruchu obrotowym,

3)    może zmieniać swoją postać.

W każdej chwili możemy ten element wypadkowej prędkości liniowej równa s

1

= —rot v. 2

vażać za ciało sztywne. Rotacja jego podwojonej prędkości kątowej tego