Cialkoskrypt
6

30 1. Pojęcia podstawowe

gradtp = Vcp.

Znaczenie symbolu nabla wynika z zapisu:

:<P>

r d(p -3<p r 3(p f r 3 - 3 r 3 Vtp = 1 — + j-^z + k~= 1 ——i- J ——hk—-3x 3y 9z ( 3x 3y 3z

stąd

r 3 t 3    3

^v=1aT^J^⁺

Symbol nabla można więc uważać za pewien wektorowy operator różniczkowy. Zatem przyrost funkcji skalarnej pola cp można zapisać w postaci:

dtp = Vcp-dr,

gdzie strzałki mają obrazować ujęcie kierunku.

Za pomocą gradientu funkcji pola skalarnego (p przypisuje się każdemu punktowi tego pola ściśle określony wektor. Wyznacza się więc pole wektorowe przyporządkowane danemu polu skalarnemu. Wiemy, że przyrost funkcji pola skalarnego (p wynosi zero, jeżeli się posuniemy o dowolny wektor infinitezymalny dr leżący na powierzchni ekwiskalaraej. W naszym przypadku dtp = Vcp • dr = 0, z czego wynika, że wektor gradtp jest prostopadły do powierzchni ekwiskalamej.

Weźmy pod uwagę dwie powierzchnie ekwiskałarne: pierwszą o wartości cp, a drugą o wartości (p + dtp, gdzie dtp > 0. Niech wektor h, będzie prostopadły do pierwszej powierzchni ekwiskalamej. Jeżeli przesuniemy się wzdłuż linii działania wektora h, o wektor dr, w kierunku do drugiej powierzchni, co powoduje, że przyrosty dtp oraz d f, są jednostkowe, to

dtp-Vtp-dr >0.

Z powyższej zależności wynika, że wektor grad tp, normalny do powierzchni ekwi-skalarnej, ma zwrot skierowany od powierzchni ekwiskalamej o mniejszej wartości do powierzchni o wartości większej.

Pochodna funkcji pola skalarnego wzdłuż danego kierunku

Przy przejściu z danego punktu pola do punktu sąsiedniego, wyznaczonego przez wektor dr, zmieni się funkcja pola tp:

dtp = Vtp ■ df.

Jeśli wektor dr wyrazi się przez wektor jednostkowy e o tym samym kierunku co wektor df:

df = eds,

to przyrost funkcji pola dtp można zapisać w postaci:

dtp - V<p • eds,

a stąd

~ = Vtp-e =jVcp|-lei-cos(Vcp,e).    (1.1)

ds

Wielkość d(p/ds nazywamy pochodnąfunkcji ę wzdłuż kierunku e.

Dowolny wektor jednostkowy w układzie kartezjańskim możemy wyrazić za pomocą wersorów T, j, k (rys, 1.12):

e = T cos a + ] cos (3 + k cos y,

gdzie a, (3, y są kątami,,które tworzy wektor e z osiami układu współrzędnych, a zatem także wektor dr z dodatnimi kierunkami osi układu. Wówczas także wzór na pochodną wzdłuż danego kierunku przyjmie postać:

dtp    dtp ₀ dtp    dtp

— = cos cc — + cosB— + cos y—. ds    dx    dy    dz

Jeśli z danego punktu pola P wykreślimy wektory o długości równej pochodnej wzdłuż wszystkich kierunków, to końce odcinków przedstawiających wartość tych pochodnych będą się znajdować na powierzchniach dwu kul, których średnicami są gradtp i -gradtp. Kule te są styczne do powierzchni ekwiskalamej tp = const w badanym punkcie P (rys. 1.13).

Rys. 1.12. Rozkład jednostkowego wektora Rys. 1.13. Powierzchnia ekwiskaiarna, <p = const e na składowe i,j, k