62460 Strona
6

’/3ł

17.4. TWIERDZENIE STOKESA

Twierdzenie. Niech krzywa AT będzie brzegiem płata powierzchniowego 5 zorientowanego tak, aby obieg dodatni na krzywej K wokół wektora normalnego n do powierzchni S był zgodny z obiegiem wokół osi Oz na krzywej C, która jest rzutem krzywej K na płaszczyznę Oxy (rys. 17.14). Jeżeli funkcje:

5 = 2(*. T. *).

Jł = R(x, y, z)

są ciągłe wraz z pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu w obszarze zawierającym powierzchnię S, to:

■i

(4.1)

5 P dy + Q dy + R dz =

k‘

8R

) ^dzdx + [^-^)^dxdy-

Jeżeli a, fi, y oznaczają kąty, które wektor normalny n do powierzchni S tworzy odpowiednio z osiami Ox, Oy, Oz, to wzór (4.1) może być zapisany w postaci:

(4.10

^Pdx+Qdy+Rdz =

s    )

Definicja. Niech w pewnym obszarze będzie określone dowolne ciągłe pole wektorowe W postaci (3.2) i niech K oznacza dowolną krzywą zamkniętą zawartą w tym obszarze. Całkę krzywoliniową:

(4.2)

$ P (x, y, z) dx + Q (x, y, z)dy + R (x, y, z) dz

nazywamy cyrkulacją wektora W wzdłuż krzywej K.

Wzór Stokesa w terminologii pola wektorowego. Cyrkulacja wektora pola W wzdłuż krzywej zamkniętej K równa się strumieniowi wirowości wektora W przez zorientowaną powierzchnię S, której brzegiem jest krzywa K, co zapisujemy krótko w postaci:

(4.3)

J P dx -i- Q dy + R dx => J j rot, W dS,

gdzie: rot, W oznacza składową skalarną wirowości (rotacji) wektora pola W wzdłuż normalnej n (cos a, cos fi, cos y) do powierzchni S.

ZADANIA PRZYKŁADOWE

Zadanie 4.1. Stosując wzór Stokesa obliczyć całkę:

J = $ x dx -f xz dy + z dz,

K

gdzie krzywa K jest dodatnio zorientowanym okręgiem o równaniach:

Z* = 1

Rozwiązanie. W naszym zadaniu:

(1) Stąd:	P(x, y, -') = v	Q(x, v, z) = xz,	R(x, y, z) = z.	r
(2)'	ć'R ćQ	Ć-P i>R 0	ZQ BP _ _	i '
	cy c z	cz ę.x ~ ■	ćx dy ~ “	r

/'

Stosując wzór (4.1) i uwzględniając (2), mamy:

(3)    J — ( v dx ,tz dy -)- z dz — $ $ ,v dy dz Ą- z dx dy.

gdzie: S może być dowolną powierzchnią regularną zorientowaną dodatnio, której brzegiem jest okrąg K. Aby wyliczyć całkę powierzchniową (3), wygodnie będzie przyjąć za S górną stronę powierzchni kola:

W

.9 =

₌ J .v² 1- y* si 1 7=1.

Ponieważ normalna do powierzchni 9 jest prosto'j^Sa do osi Oy (cos a = 0), zatem: (5)    ji $ a: dy dz 0.

117