123177

Nierówność Besso la

Twierdzenie 4 Niech tą, v₂,..., v_n będzie bazą orUmormahą podprzcstrzeni U przestrzeni cuklidcsowej V. Wtedy dla każdego wektora v € V zachodzi nierówność Dcsscla:

(vW² + («N)² + -- + H^r<IHI²

przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy v G U.

Dowód Wiemy, że (e — vu\v — vu) > 0. Z poprzedniego twierdzenia mamy:

n    n    n

(v - Vu\v - Vu) = {v-    - 5Z(v|vi)v_a) = (v|v) -    ^ o

i=l    i=l    i=l

a stąd mamy rządaną nierówność.□

Nierówność Bessela mówi, że norma rzutu ortogonalnego jest mniejsza bądź równa od normy wektora.

Metoda najmniejszych kwadratów

Rozważmy układ m równań liniowych z n niewiadomymi o współczynnikach rzeczywistych:

an#! + 012^2 + • • • + a\_nX_n = 6j

^a2l^xl + <*22^2 + • • • + «2n^xn ~ ^2

i    “ł* d_m2^x2 “h • • • "h ®mn^n

Założymy, że rn > n, a rząd macierzy współczynników jest równy n. Może się zdarzyć, że w wyniku pewnych pomiarów fizycznych pojawi się taki układ równań. Z powodu niedokładności pomiarów taki układ może nie mieć rozwiązań. lYzeba więc znaleźć rozwiązanie przybliżone. Jedną z metod rozwiązania przybliżonego jest tak zwana metoda najmniejszych kwadratów to znaczy znalezienie takich elementów' y_t, jfe,... ,y_n, żeby suma kwadratów:

była najmniejsza. Niech / = (61,62.....6_m), 6, = (au,a₂i,... ,a_mi), i =

l,2,...,n będą wektorami z przestrzeni R^m. Wtedy powyższa suma przyjmuje najmniejszą wartość jeśli (yi.y-2.....y_n) jest rzutem wektora / na pod-

przestrzeń rozpiętą na wektorach h j. h₂ ____h„. Zatem elementy y\,y₂...., y_n

2