P4200257

lawnonraoraio

Twierdzenie 3.7

Niech C będzie podzbiorem domkniętym osi rzeczywistej. Jeśfi F jest odwzorowaniem zwężającym zbioru C w siebie, to F ma jedyny punkt stały. Ponadto, ten punkt stały jest granicą każdego ciągu generowanego wzorem x_n+^ - F(x_n) z dowolnym x₀ € C.

\Xn — X_n-11 — |F(X_n_1) — F(Xn—2)|    A|x_n_ 1 ~    2!•

Przystając z powyższego możemy udowodnić (indukcja) nierówność \x_n - f < A"^-1|*1 — Xo|

I Ponieważ

x_n = x₀ + (xi - x₀) + (x₂ - Xi) + • • ■ + (x_n - x_n_ _t),

I    oo

to ciąg {*„} jest zbieżny <=> gdy jest zbieżny szereg y^(x_n - x_n_-,).

łl=t

OO    ą

Ponieważ V \x_n - *o-i | < Y) A”^-1 |*i - x₀| = -i—r j*i - x₀|,

“ 0=1 ..... 0=1

©Zbigniew Bartoszewski (Politechnika Gdańska)    METODY NUMERYCZNE