39734

Otwartość zbioru X wynika, z tego, Śe " xTX "r>0 K(x,r) lX Twierdzenie

Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną, xfX, r>0. Wtedy kula otwarta K(x,r) jest zbiorem otwartym.

Dowód

Weźmy dowolne ylK(x,r). Mamy pokazać, Śe istnieje r>0 takie, Śe K(y,r) \ K(x,r)

Skoro y?K(x,r), to d(x,y)<r

Niech r= 34 (r — (d(x,y)). Wtedy mamy do pokazania "zTK(y,r) z?K(x,r), czyli d(x,z)<r.

Z warunku trójkąta

d(x,z) < d(x,y) + d(y,z) < d(x,y) + r = d(x,y) + Yi (r-d(x,y) < d(x,y) + (r-d(x,y) = r [e-mail] 2

Twierdzenie

W dowolnej przestrzenie metrycznej(X,d) dla dowolnego x?X i r>0 kula domknięta jest zbiorem domkniętym.

Dowód

Mamy do pokazania, śe dopełnienie X/ K (x,r) jest zbiorem otwartym.

JeŚeliylX/ K (x,r) to d(x,y)>r.

Mamy więc r>0 takie, śe K(y,r)lX/ K (x,r), tzn. Śe "zTK(y,r) będzie zachodzić nierówność d(x,z)>r. Istnieje r>o takie, Śe d(x,y) - r > r Łatwo pokazać, śe tak dobrane r spełnia podany warunek.

Definicja

Rodzinę wszystkich zbiorów otwartych przestrzeni (X,d) nazywamy topologią tej przestrzeni i oznaczamy ją symbolem t(X)

Twierdzenie

W dowolnej przestrzeni metrycznej (X,d) topologia t(X) ma następujące własności: a)X,/Elt(X)