CCF20090120096

Już na podstawie porównania śladów 9a i 9b widzimy, że prosta jest bardzo stroma, gdy punkt poruszał się bardzo szybko (a więc dla dużych y'), i prawie pozioma dla punktu poruszającego się wolno (y' małe). Istotnie, y' jest miarą tego, jak stroma jest krzywa.

9c jest śladem utworzonym przez koniec ołówka pozostającego w bezruchu. Punkt znajduje się stale na tej samej wysokości. Nie ma on żadnej prędkości, więc y' = 0.

Zgodnie z tym, gdy y = 0, wykres jest poziomy.

W przypadku 9d koniec ołówka porusza się w dół szpary, gdy kartka papieru przesuwa się. W ciągu jednej sekundy punkt przesunął się w dół o jedną dziesiątą cala. Zmiana wielkości y

w ciągu jednej sekundy wynosi zatem —, z cze-

1

go wynika, że y — — —.

■W przypadku 9e koniec ołówka opada o 1 cal w ciągu jednej piątej sekundy; opada on więc w tempie 5 cali na sekundę i y = —5.

Zauważmy, że wykres opada, gdy y jest ujemne (przypadki d i e), i wznosi się, gdy y' jest dodatnie (przypadki a i b).

Reasumując: stromość wykresu zależy od tego, jak wielkie jest y'\ to, czy wykres wznosi się, czy opada, zależy od tego, czy y' ma znak + czy —; y ~ 0 oznacza, że wykres jest poziomy.

PRZYPADEK OGÓLNY

Do tej pory rozpatrywaliśmy tylko, co dzieje się, gdy koniec ołówka porusza się ze stałą prędkością. Ale często musimy badać przedmioty poruszające się z różną prędkością w różnym czasie.

Możemy jednak w dalszym ciągu korzystać z wniosków, do jakich doszliśmy przy badaniu przypadków prostszych. Czytelnik może to sprawdzać samodzielnie, stosując urządzenie pokazane na ryc. 31. Jeżeli będziemy poruszali ołówkiem w górę i w dół szpary, zmieniając jego prędkość, to zauważymy, że gdy ołówek porusza się szybko, pozostawiony ślad jest stromy; gdy ołówek porusza się powoli, pozostawiony ślad nie jest zbyt stromy. W dalszym ciągu możemy mówić, że prędkość odpowiada stromości. Jeżeli prędkość zmienia się, to stromość wykresu także się zmienia. W tym przypadku wykres będzie zakrzywiony, a nie prosty, jak poprzednio.

To nas prowadzi do rozpatrzenia y". Wielkość y" wskazuje, jak szybko zmienia się prędkość y. Nas będzie głównie interesował znak Wielkości y", czy jest to +, czy —. Jeżeli y" jest dodatnie, oznacza to że y rośnie (tj. do y' coś się doda je). Jeżeli y" jest ujemne, oznacza to, że y maleje (coś się od y' odejmuje). Proszę spojrzeć na cztery modele pokazane na ryc. 33.

Jakie są znaki wielkości y i y" w modelu 1? Tutaj krzywa rośnie, a więc y musi być dodatnie. Im dalej posuwamy się, tym bardziej stroma staje się krzywa. Jej stromość (mierzona przez y') wzrasta. A więc y' również wzrasta. Oznacza to, że y" musi mieć znak -f. Łatwo można poplątać znaczenie wielkości y' i y". Zapamiętajmy więc, że y mierzy, jak szybko zmienia się y, tzn. y' mierzy prędkość poruszającego się punktu. Natomiast y" mierzy, jak szybko zmienia się y', tj. jak szybko zmienia się prędkość.

Gdyby ta krzywa była częścią wykresu ilustrującego przebieg kampanii wojskowej, z wykresu wynikałoby, że: 1. armia posuwała się naprzód, 2. prędkość posuwania się stale wzrastała; punkt 1. odpowiada matematycznemu fak-

13* 195