CCF20090213038

TO, CO SIĘ WZNOSI, MUSI OPADAĆ: PODSTAWOWE TEORIE

Twierdzenie Pitagorasa

Tales uważał, że świat jest zrobiony z wody. Heraklit twierdził, że pierwotnym żywiołem jest ogień. Pitagoras (szósty wiek przed naszą erą) sądził, że wszystko jest liczbą, a do wszelkich prawd prowadzą równania. Jego mottem było: „Rzeczy są liczbami”. Filozofia Pitagorasa, która obejmuje również wiarę w reinkarnację (wędrówkę dusz, metempsychozę) i rady, aby wstrzymywać się od jedzenia bobu, jest czasami dziwaczna i tajemnicza, przeprowadził on jednak pierwszy wielki dowód geometryczny twierdzenia, które jest nadal nazywane jego imieniem.

Jeśli kiedykolwiek uczyłeś się geometrii, znasz z pewnością twierdzenie Pitagorasa. Dotyczy ono najbardziej interesującego ze wszystkich trójkątów - trójkąta prostokątnego! Według Pitagorasa wszystkie trójkąty prostokątne mają wspólną własność - długość najdłuższego boku trójkąta podniesiona do kwadratu jest równa sumie kwadratów długości dwóch pozostałych boków. Długość najdłuższego boku (zwanego przeciwprostokątną) wynosi c. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa a¹ + /r = c².

W rzeczywistości, chociaż starożytne świadectwa jednoznacznie wskazują, że autorem tego dowodu jest Pitagoras (Grek z wyspy Samos), samo twierdzenie pojawia się już w różnych rejonach Bliskiego Wschodu tysiąc lat przed narodzinami Pitagorasa. I chociaż on udowodnił to twierdzenie, przeprowadzony przez niego dowód się nie zachował. Pierwsze informacje o dowodzie znajdujemy w słynnych Elementach Euklidesa (300 lat przed naszą erą), które do dziś dnia stanowią podstawę geometrii elementarnej. W wersji Euklidesa, mówiąc w skrócie, na każdym boku trójkąta konstruuje się kwadrat (o boku równym bokowi trójkąta) i wykazuje, że powierzchnie mniejszych kwadratów dają w sumie powierzchnię dużego kwadratu.

Prócz tego, że dowód Pitagorasa jest pierwszym tego rodzaju, jest on jeszcze istotny z innego powodu. Po pierwsze przyczynia się do cierpień szkolnej dzieciarni. Po drugie doprowadził do odkrycia liczb niewymiernych - czyli takich, których nie można przedstawić w postaci ułamka (ilorazu dwóch liczb całkowitych). Przykładem liczby niewymiernej jest pierwiastek kwadratowy z dwóch, będący długością przeciwprostokątnej trójkąta, w którym długość każdej z przyprostokątnych wynosi 1.

Paradoksalne, że ta konsekwencja twierdzenia Pitagorasa nie pasowała do jego koncepcji, ponieważ Pitagoras wierzył, że wszystkie liczby są wymierne, łub - żeby użyć jego terminu - współmierne. (Podobno człowieka, który odkrył istnienie liczb niewymiernych, członkowie związku pitagorejskiego wrzucili do Morza Śródziemnego). Ponieważ grecka arytmetyka operowała wyłącznie liczbami wymiernymi, geometria wydawała się narzędziem potężniejszym i lepiej opisującym świat. Z tego powodu matematycy koncentrowali się głównie na niej, co zaowocowało wielkimi postępami w tej dziedzinie. Zaniedbywano natomiast arytmetykę.

„Eureka!” (prawo Archimedesa)

A jak powiadają, w kąpieli, z przelania się nadmiaru wody wpadł na pomysł, jak ma określić wag? wieńca, i jak opętany czy natchniony wyskoczył z wanny wołając: „Odkryłem!” i wybiegł ciągle lo powtarzając.

Plutarch, MomUa, przeł. Zofia Abramowiczowa

Sycylijski matematyk Archimedes (287-212 p.n.e.) był typowym nieobecnym duchem profesorem, znakomitym myślicielem, często

79