DSCN1169 (2)

7.36. Przypuśćmy, że x₀ei? jest rozwiązaniem równania f(x) = x, tzn. /(x₀) | *o- Wtedy £(/(x₀)) jg g(x₀). Ale z tego, że g jest funkcją odwrotną do / wynika równość # (f(x₀)) = x₀.

Stąd 0(x_o) = x₀, czyli fir(x₀) =/(x₀).

Wykazaliśmy, że zbiór rozwiązań równania /(x) = x zawiera się w zbiorze rozwiązań równania /(x) = g(x).

Załóżmy teraz, że liczba Xj 61? nie jest rozwiązaniem równania f(x) = x.Zatem/(x,) # x,,wobectego/(Xj) > x_t lub/fo) < Xj. Jeśli/(x,) > x,. to g{J{x_x)) > g{x_l), czyli Xi > g{x_l). Stąd/(Xj) > g{x_{).

Jeśli/(xj) < x„ to    < g(x_l)_t czyli Xj < firfo).

Stąd/(Xj) < g(x₁).

Wykazaliśmy, że jeśli x, nie jest rozwiązaniem równania/(x) == x, to także nie jest rozwiązaniem równanie /(x) = g(x). To spostrzeżenie wraz z poprzednim dowodzi prawdziwości twierdzenia.

7.37.    Wskazówka. Skorzystać z zadania 2.20.

7.38.    Wskazówka. Najpierw wykazać, że istnieją liczby a, fi takie, że

Następnie wykorzystać fakt, że funkcja g: R-*R określona wzorem g(x) = ax³ -f coc ma środek symetrii.

7.39. Wskazówka. Najpierw wykazać, że przy podanych założeniach istnieją liczby a, p takie, że

Następnie wykorzystać fakt, że funkcja g: R-+R określona wzorem g{x) = ox⁴ -f <xx² ma oś symetrii.

7.40. Ponieważ stopień wielomianu W'jest niemniejszy niż 2, więc W można przedstawić w postaci:

W(x) = [x - (3 + V2)]-[x - (3 - s/2j]-Q(x) + ax+b, czyli W(x) = (x² — 6x + 7) • Q(x) + ax + b.

Współczynniki wielomianu x -♦ x² — 6x + 7 są wymierne, wobec tego współczynniki wielomianu Q oraz a, b są również liczbami wymiernymi.

Z założenia, że W(3 + y/l) = 0 wynika, że a (3 + y/l) + b = 0 lub inaczej <*> (3a + b) + dyfl = 0.

Ponieważ a, be W, natomiast yfl $ W, więc z równości ⁽*⁾ wynika, że 3a + b = O i a = 0.

Stąd a = 0 i b = 0.

Zatem W(x) = (x² - 6x + 7)-Q(x).

W takim razie 1^(3 — .^2) = 0.

7.41. Wskazówka. Ponieważ x³ — x = x(x + l)(x — 1), więc W(x) s= x(x — l)(x + 1)-Q(x) + (ax² + bx + ć).

Teraz możemy wykorzystać to, że W(0) = 1, W( 1) = 0 i W{- 1) = 4.

Szukaną resztą jest 3x² — 2x — 1.

7.42.    W jest wielokrotnością G tylko wtedy, gdy n jest liczbą parzystą.

7.43.    a) Wskazówka. Rozumując podobnie jak w 3.31 dowodzimy, że ciąg

^an ~ \/³ ~~ y/$ + •••

n trójek

jest zbieżny.

Oznaczmy poszukiwaną liczbę przez s. Wówczas s = y/3-y/3 + s.

Stąd s² = 3 — y/3 + s, więc 3 + s = (3 — s²)². Otrzymujemy w ten sposób równanie s⁴ — 6s — s + 6 = 0.

Rozwiązaniami tego równania są liczby:

-2; s₃ =

Si = 1; s₂

l+yn

Ponieważ 0 < a < -y/3, więc s = 1 lub s =

Ale —V-— > 3, zatem s = 1.

2

b) Wskazówka. Rozumowanie podobne jak w a), s = 3.

195