IMG183

183

kr

E

Kya. 15.1* Wymuszenie ■(«!• («kok.ov«) w(t) ■ I • l(t)

jest rozwiązaniem równania (15* 1)• Rozwiązanie to, najace taki Barn charakter jak wymuszenie, nazywany rozwiązaniem ustalonym (stanem ustalonym), Dla układu, w którym istnieje etan ustalony, pełne rozwiązanie x(t) można zaplHać w postaci

x(t) - x_u ♦ Xp(t)    (15.5)

gdziej x_u - składowa ustalona odpowiedzi,

x_p - składowa przejściowa odpowiedzi.

Składowa przejściowa x znajdujemy jako rozwiązanie równania jednorodnego [równanie (15^1) z w(t) • Oj. Równanie charakterystyczne ft+A-0) ma w tym przypadku jeden pierwiastek X • - A, a zatem

x_p(t) - k₁ .    - k, . e~^At    (15.6)

Zgodnie % (15.5) otrzymujemy

x(t) - x_u ♦ k, . e~^At    (15.7)

Stała k₁ w ostatnim wyrażeniu wyznaczamy na podstawie warunku początkowego (15.2). Równanie (15.7) dla t ■ 0 przyjmuje postaó

^xo " *u * ^k1    ^(15#8)

skąd

^k1 " ^xo " *u    ⁽¹⁵*⁹⁾

Ostatecznie otrzymujemy

x(t) “ x_u + (x₀ - x_u) . s“^At - Xy (1 - e^_At) + x₀ . e“^At (15.10)

Przebieg tego rozwiązania w funkcji czasu Jest pokazany na rysunku 15.2. Zaznaczony na nim czas T , po którym układ osiągnąłby stan ustalony, gdyby odpowiedź wzrastała ze stała prędkością równa prędkości w chwili początkowej (t • 0), nazywamy stałą czasowa.