3784495609

15.4- Przykład: wybór równowagi 105

Jak łatwo sprawdzić, rozwiązaniem równania Mv = v jest pierwsza kolumna macierzy M*:

»= (1,2/3,5/6, ...,0)^T.

Układ dąży więc do stanu (jednego z dwóch) Pareto-optymalnego, będącego symetryczną równowagą Nasha w strategiach czystych.

Przykład 15.2. Dwóch graczy gra w kolejnych chwilach czasu t = 1,2,... w dwuosobową grę o macierzy wypłat

	1 r
1	5,5	0,0
r	0,0	3,3

pamiętając dwie ostatnie (czyli grane w ostatnich 2 rundach) akcje grane przez przeciwnika. Definiujemy stany itd. jak w poprzednim przykładzie. Jedyną różnicą w stosunku do poprzedniego przykładu jest najlepsza odpowiedź na Ir i rl: teraz jest nią l. Na przykład z prawdopodobieństwem 1 stan llrl przechodzi w następnej rundzie w stan llrl, a stan Irlr w rlrl. Macierz przejścia M ma postać

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
2	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0
3	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
4	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0
5	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0
6	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0
7	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0
8	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
9	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0
10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1

Łatwo sprawdzić że M^k = M⁴ dla k > 4, a zatem M* = lirrik-*ooM^k = M⁴. M⁴ ma postać:

123456789 10

1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
2	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
3	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
4	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
5	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
6	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
7	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
8	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
9	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1

Tak więc, przy nierównych wypłatach za skoordynowanie akcji w grze koodynacyjnej układ znajdzie się, niezależnie od stanu początkowego, w równowadze Pareto-optymalnej (o ile oczywiście stanem początkowym nie jest rrrr).