3179027784

Elementy Badań Operacyjnych

Jak łatwo sprawdzić, posługując się np. metodą geometryczną, rozwiązanie optymalne programu dualnego oraz optymalna wartość funkcji celu kształtują się:

_yi* = 1,8; y2* ~ 10,8; F(yi*,y₂*) = 3000 1,8 + 1500-10,8 = 21 600.

Znając rozwiązanie programu dualnego (PD) można przejść do rozwiązania programu pierwotnego (PP) korzystając z przytoczonych dalej twierdzeń. Sprawdzimy zatem jak (ostro czy słabo), dla rozwiązania optymalnego (yi*,y2*) spełnione są poszczególne warunki PD. Otrzymuj emy:

1)    3 1,8 + 6-10,8 = 70,2 > 36    => x* = 0

2)    6-1,8 + 4-10,8 = 54 = 54

3)    8-1,8 + 2-10,8 = 36 = 36

A więc ostro spełniony jest warunek (1), z czego wynika że odpowiadająca mu optymalna wartość zmiennej w PP (xi*) przyjmuje wartość 0, natomiast y\* iy₂* są dodatnie, więc odpowiadające im warunki 1) i 2) PP są dla rozwiązań optymalnych x₂* i x₃* spełnione słabo (lewa i prawa strona są sobie równe — zachodzą z równością). Wstawiając więc x* = 0 do PP otrzymujemy układ równań:

6x₂ +8X3 =3000

4x*+2x’ = 1500

którego rozwiązanie to:    X2* = 300, x₃* = 150.

Zatem optymalne rozwiązanie zagadnienia (PP), to:

x* = 0; xj = 300; x₃ =150, F(x, ,x₂ ,x₃ ) = 54-300+ 36-150 = 21600 = F(y_t ,y₂).

Jak więc widać, zgodnie z podstawowym twierdzeniem o dualizmie: wartości funkcji celu dla rozwiązań optymalnych obu programów są sobie równe.

Należy zatem produkować 300 sztuk wyrobu B i 150 sztuk wyrobu C, natomiast wyrobu A nie produkować. Miesięczny przychód ze sprzedaży tych wyrobów wyniesie 21600 zł.

Ad b) W odpowiedzi na pytanie jak wzrośnie przychód ze sprzedaży wyrobów, jeżeli zasób surowca Si wzrośnie o 10 kg wykorzystamy interpretację zmiennych dualnych. Załóżmy na wstępie, że można dokupić 1 kg surowca Si i wyznaczmy rozwiązanie układu (przy założeniu, że ten dodatkowy zasób nie wpłynie na zmianę rozwiązania optymalnego):

6X3 +8xJ = 3001

4x*+2x* = 1500

Jest nim x₂* = 299,9; x₃* = 150,2 (xj* = 0), a F(x_x*, x₂*, x₃*) = 36-0 + 54-299,9 + 36-150,2 = 21601,8. Wzrost zasobu surowca Si o 1 kg dał przyrost przychodu ze sprzedaży (wartości funkcji celu) o AF = 21601,8 - 21600 = 1,8 =yl.

Można także sprawdzić, iż gdyby o 1 kg wzrósł zasób surowca S₂, to rozwiązaniem układu równań:

6X3+8X3 =3000

4x₂*+2x₃* =1501

Antoni Goryl, Anna Walkosz: Programowanie liniowe strona 11