276 (18)

552 21. Synteza dwójników pasywnych

Przypuśćmy, że zmienna s przybiera wartości rzeczywiste, tzn. s — o. Różniczkując wyrażenie (21.20), otrzymujemy

552 21. Synteza dwójników pasywnych

d F(a) d a

^ki

(o + of

<0,

(21.22)

bowiem k₀ > 0 oraz k₍ > 0. Oznacza to, że dla wszystkich wartości s = a (z wyjątkiem biegunów), funkcja F(cr) jest malejąca. Na tej podstawie można udowodnić, że zera i bieguny funkcji F(s) występują na przemian. Funkcja F(tr) jest malejąca i składa się z kilku gałęzi. Typowy wykres funkcji F(oj podany jest na rys. 21.9.

21.5.2. Impedancja dwójników RL i admitancja dwójników RC

Omówimy obecnie impedancję dwójników RL oraz admitancję dwójników RC. Udowodnimy

Twierdzenie 2. Jeżeli funkcja F(s)/s spełnia założenia twierdzenia 1 (por. p. 21.5.1), to F(s) jest impedancją dwójnika RL albo admitancją dwójnika RC.

Zastępując F(s) we wzorze (21.20) funkcją F(s)/s oraz F(co) współczynnikiem mamy

(21.23)

^ = _kęB+^+ £ s ^x s .L.s + a,

przy czym

k₀ = lim F(s) = F(0),    fe = lim (^s + ^ff.-)^f(s)    (21.24)

a z założenia wszystkie te współczynniki są dodatnie. Mnożąc stronami równanie (21.23) przez s, mamy

Każdy składnik po prawej stronie tego równania jest impedancją elementarnego dwójnika RL albo admitancją elementarnego dwójnika RC, jak to wynika z tabeli

21.3.

Tabela 21.3

Impedancją dwójnika RL lub admitancja dwójnika RC

Jeżeli F(s) jest impedancją dwójnika RL, to można ją zrealizować w postaci połączenia szeregowego dwójników elementarnych z drugiej kolumny tabeli 21.3. Jeżeli natomiast F(s) jest admitancją dwójnika RC, to można ją zrealizować jako połączenie równoległe dwójników elementarnych z kolumny trzeciej tabeli 21.3. W ten sposób otrzymuje się połączenie Fostera przedstawione na rys. 21.10.

Na tej podstawie można sformułować następujące

Rys. 21.10. Połączenia Fostera zawierające elementy R. L albo R. C

Twierdzenie 3. Wymierna funkcja F(s) o dodatnich współczynnikach w liczniku i mianowniku jest impedancją dwójnika RL albo admitancją dwójnika RC, jeżeli

(1)    punkt s = 0 nie jest biegunem funkcji F(s),

(2) wszystkie bieguny (włącznie z s = oo) funkcji F(s) są jednokrotne i znajdują się na ujemnej półosi rzeczywistej,

(3)    residuum funkcji F(s) w biegunie s — cc jest dodatnie.