270 (19)

540 21. Synteza dwójników pasywnych

i po podstawieniu wzoru (21.1) do tej zależności znajdujemy

t/,(.s)/?(s) = Ig^ł'Z₀I₀.    (21.2)

Wykorzystując zależność (por. wzór (20.17)) Z₀ = BZB^r, gdzie B jest macierzą łączącą oczkową, a Z — macierzą impedancji gałęziowych (por. p. 20.3.1), otrzymujemy

Ui(s)IUs) = I*^rBZB^ł I₀ = (Ig⁷ B)Z(B^rI₀),

a stąd

l/₁(s)/f(s) = (B^rIS)^rZ(B^rI₀),    (21.3)

bowiem

(B^rI*)^T = Ig⁷ B.

Po zastosowaniu wzoru dla transformacji Oczkowej (por. p. 20.2.3) I = B^rI₀, gdzie I jest wektorem prądów gałęziowych, mamy

I* = B^TIg,

bowiem elementami macierzy B są liczby rzeczywiste.

Zależność (21.3) przybiera zatem postać

t/₁(s)/f(s) = I*^rZI.    (21.4)

Macierz impedancji gałęziowych obwodu nie zawierającego cewek magnetycznie sprzężonych ani też źródeł sterowanych jest diagonalna. Impedancję każdej gałęzi k takiego obwodu przedstawia zależność

^Rk +    + zt^- =    +    +

^SL-k    S

gdzie D_k = 1 /C_fc jest elastancją kondensatora, przy czym niektóre z wielkości R_k, L_i} D_k mogą równać się zeru. Wobec tego macierz impedancji gałęziowych można przedstawić w postaci

Z = R + sL+ ’ D,    (21.5)

s

gdzie macierze diagonalne

	r*.	0 "		" Lj 0 -		~D,	0 ‘
R =	*2		, L =	^L\	, D =	°2
	0	^Rn-		-1 c O		0	D„.

są odpowiednio macierzami: rezystancji, indukcyjności oraz elastancji gałęziowych obwodu.

Podstawiając wyrażenie (21.5) do równania (21.4), otrzymujemy

l/.(s)/f(s) = I*'RI+sI*'LI + -I*'DI.    (21.6)

s

Wprowadzamy następujące oznaczenia:

F = I*^rRI, T = I*^tLI, V = I*^rDI,    (21.7)

wobec tego wzór (21.6) przybiera postać

U, (s)/f (s) = F + sT+^]-V.    (21.8)

Obliczymy wielkość F określoną przez pierwszą zależność we wzorach (21.7). Pomijając dla uproszczenia zapisu zmienną s, mamy

	V
	I2
	-In.

	r«.	0 ••	0
f = [/t,	0	r2 -	0
	. O _i	0 ••	R

R,/,

r₂/₂

R_/„

= R,/,/f + R₂/₂/f + ... + R_B/_n/;,

czyli

F = X K.-l/.-M².    (21-9)

i = I

bowiem iloczyn liczb zespolonych sprzężonych jest równy kwadratowi modułu. W podobny sposób otrzymuje się

t= i i-i i/,•(*■)!².

(21.10)

1= I

K= ^ D_I.|/_i(.v)|² = X ^rlWI²-

W zależnościach (21.9)-(21.10) występują rezystancje indukcyjności oraz elastanc-je poszczególnych gałęzi rozpatrywanego dwójnika. Ponieważ wielkości te wyrażają się zawsze nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, więc funkcje F. T. V zmiennej zespolonej s przybierają zawsze nieujemne wartości rzeczywiste. Wniosek ten jest ogólny i dotyczy również obwodów zawierających cewki magnetycznie sprzężone.