277 (17)

554 21. Synteza dwójników pasywnych

(4)    residua funkcji F(s)/s w biegunach s = — ct, są dodatnie,

(5)    wartość F(0) jest nieujemna.

Twierdzenie to podaje warunki konieczne i dostateczne, aby funkcja F(s) była impedancją dwójnika RL albo admitancją dwójnika RC. Na podstawie tego twierdzenia można wykonać syntezę niektórych dwójników, otrzymując wynik w postaci połączeń Fostera.

Załóżmy, że s = o przybiera wartości rzeczywiste. Różniczkując zależność (21.25), otrzymujemy

₌    , y ^ki°‘

³⁰ i=,(cr + <7;)²

der

>0,

(21.26)

bowiem k_x > 0, k_t; > 0 oraz u, > 0. Oznacza to, że funkcja F(oj jest rosnąca. Na tej podstawie można wykazać, że bieguny i zera funkcji F(s) występują na przemian. Wykres funkcji F(<r) przedstawiony jest na rys. 21.11 przy założeniu, że k_x =0.

Przykład. Należy zrealizować impedancję dwójnika

Z(s) =

(21.27)

(s+ l)(s + 4) s(s + 2)

	1/2
1 ^1/2				i ń
-C=I-It-	1		^3	^3/21U
	HI—
			1/3 =	= 1/6==

Rys. 21.12. Realizacja impcdancji wyrażonej wzorem (21.27)

Rys. 21.13. Realizacja impedancji wyrażonej wzorem (21.27)

Ponieważ funkcja Z(.v) ma biegun s = 0. a s = x nic jest biegunem, więc jest ona impcdancją dwójnika RC. Rozkładając funkcję Z(s) na ułamki proste, otrzymuje się

2 1

Z(s) = 1 -l—l---.

s s + 2

Sa podstawie tabeli 21.2 wyznacza się połączenie Fostera z rys. 21.12, przy czym rezystancje oporników podane są w omach, a pojemności kondensatorów — w faradach.

Rozkładając funkcję

I    s(s + 2)

F(s) = na ułamki proste, znajdujemy

y(.v) =

Z(s) (s+l)(s+4)

2s

3(s+l) 3(s + 4)’

a stąd na podstawie tabeli 21.3 otrzymujemy połączenie Fostera podane na rys. 21.13.

21.6. Dwójniki RLC 21.6.1. Uwagi ogólne

Spośród szeregu znanych metod syntezy dwójników RLC omówimy dwie najprostsze, a mianowicie: metodę kolejnego wyodrębniania biegunów i zer oraz metodę rozkładu na ułamek łańcuchowy. Należy jednak zaznaczyć, że w niektórych przypadkach otrzymuje się wynik w prosty sposób, rozkładając funkcję na ułamki proste. Sposób postępowania w tym ostatnim przypadku ilustruje przykład.

Przykład 1. Należy zrealizować impedancję dwójnika

2s² + 2s+ 5

Z(s) = -

Mamy

Z(s) =

s³ + 2s² + 5s+ 10 2s² + 2s + 5

(s + 2)(.ó + 5)’

a rozkładając tę funkcję na ułamki proste, otrzymujemy

s

s² + 5

Z(s) = — + s + 2

Zgodnie z tabelami 21.1 i 21.2, impedancję s/(s² + 5) realizuje połączenie równolegle elementów LC. a impedancję l/(s+2) — połączenie równolegle elementów RC. W' wyniku otrzymujemy zatem dwójnik z rys. 21.14.

1/5

1/2

Rys. 21.14. Realizacja dwójnika z przykładu 1 o-