273 (17)

546 21. Synteza dwójników pasywnych

bowiem

546 21. Synteza dwójników pasywnych

wobec tego

F(H =

Re[F(jco)] =

4+jo) _ (4+jco)[(l — co²)— j3o>] 1—co²+j3a) (1 — o)²)² + 9co²

4(1— co²)+3o)²

4—oo²

(1 —o)²)² + 9co²    (1—a>²)²+9 co²

dla io > 2. Rozpatrywana funkcja nie jest funkcją rzeczywistą dodatnią. (3) Funkcja

1

<0

F(s) =

s² + 3s+1

nie jest funkcją rzeczywistą dodatnią, bowiem stopień mianownika różni się o 2 od stopnia licznika (por.

własność (5)).

21.4. Dwójniki reaktancyjne 21.4.1. Zależności podstawowe

Dwójnikami reaktancyjnymi lub dwójnikami LC nazywamy dwójniki pasywne zawierające wyłącznie idealne cewki i idealne kondensatory. Ze względu na brak oporników w dwójnikach reaktancyjnych nie ma strat energii.

Twierdzenie. Wymierna funkcja F(s) zmiennej zespolonej s jest impedancją lub admitancją dwójnika reaktancyjneijo, jeżeli

(1)    współczynniki wielomianów w liczniku i mianowniku są dodatnie,

(2)    wszystkie bieguny są jednokrotne i znajdują się na osi urojonej,

(3)    punkty s — 0 oraz s = oo mogą być biegunami jednokrotnymi,

(4)    residua we wszystkich biegunach są liczbami dodatnimi.

Udowodnimy, że warunki (1) —(4) są konieczne. Przyjmujemy, że punkty s = 0, s = oo, Sf = jcu, oraz sj = — jco_it przy czym co,. > 0 oraz i = 1, 2, ... , n, są biegunami jednokrotnymi funkcji P(s), zgodnie z założeniami (2) i (3). W tych warunkach rozkład funkcji F(s) na ułamki proste (według biegunów) przybiera postać

(21.13)

F(s) = ^ + k_Ks+t(-^-+-%-

S    i = i \S — JCD,. S+JCO,.

a zgodnie z założeniem (4) mamy k₀ > 0, k_y >0 oraz k, > 0. W zależności (21.13) uwzględniono, że residua w biegunach sprzężonych s_t — jro, oraz sj = —jo, _Są jednakowe, bowiem ze względu na założenie (1) są one liczbami zespolonymi sprzężonymi. a ze względu na założenie (4) — liczbami rzeczywistymi. Biorąc pod uwagę, że

k_f k, 2k,s

—'—I---— =--—,

s—jo;, s+joj    s² + cof’

„ k₀ ,    " 2k,s

(21.14)

otrzymujemy

F(.s) = —ł-/c, s+ £ -₂ -    -₂.

S    , = , X + 0>i

Każdy ze współczynników lub fc, może być równy zeru. Gdy k_n = O, wówczas \ --- 0 jest zerem funkcji /•(.>), natomiast dla k, = O punkt s — x> jest zerem funkcji

Rs).

Łatwo sprawdzić, że F(s) ze wzoru (21.14) jest funkcją rzeczywistą dodatnią, bowiem spełnione są wszystkie założenia własności (6) z p. 21.3.2. Istotnie, założenia a) i b) wspomnianej własności są spełnione ze względu na spełnienie założeń (2), (3) i (4) twierdzenia, a ponadto spełnione jest założenie c) własności (6), bowiem

.    .k₀    . A 2k,at

F(.M = — J--f-j/c ,<’>+] X ^—2-2’

wobec tego Re[/ fjfo)l 0 dla wszystkich punktów osi urojonej, z wyjątkiem

biegunów.

Każdy składnik sumy w zależności (21.14) jest impedancją elementarnego

dwójnika, jak to przedstawia tabela 21.1.

Tabela 21.1

Impcdancjc i admilancjc elementarnych dwójników reaktancyjnych

Jeżeli funkcja F(.s) jest impedancją dwójnika rcaktancyjnogo. to można ją zrealizować jako połączenie szeregowe elementarnych dwójników zawartych w drugiej kolumnie tabeli 21.1. Natomiast gdy F(x) jest admitancją dwójnika reaklancyjne-go. wówczas można ją zrealizować jako połączenie równoległe dwójników elementarnych z kolumny trzeciej tej tabeli. Otrzymane w len sposób układy nazywają się połączeniami Fosi era (rvs. 21.4).