272 (17)

544 21. Synteza dwójników pasywnych

Funkcje F, T, V przybierają nieujemne wartości rzeczywiste dla wszystkich s, a ponadto wielkości |/,(s)|² oraz |f/,(s)|² są dodatnie. Na podstawie wzorów (21.11) i (21.12) stwierdzamy zatem, że przy rzeczywistych wartościach s funkcje Z(s) oraz przybierają wartości rzeczywiste.

Rozpatrzmy punkt s = c+jcu na płaszczyźnie zmiennej zespolonej. Wzór (21.11) można przedstawić w postaci

a stąd

Z(s) =

1

|/,(s)l²L

Re[Z(s)] =

F + (a + jto) T+A—r F

tr² + w²

}

\IM²

F+aT+

(tV 1

Ponieważ |/j(s)|>0 oraz funkcje F, T, V są nieujemne dla wszystkich s, stwierdzamy, że część rzeczywista impedancji Z(s) dwójnika jest nieujemna, gdy część rzeczywista zmiennej s jest nieujemna. W podobny sposób można wykazać, że część rzeczywista admitancji F(s) jest nieujemna, jeżeli część rzeczywista zmiennej s jest nieujemna.

Funkcją rzeczywistą dodatnią nazywamy funkcję F(.v) zmiennej zespolonej s spełniającą następujące warunki:

(1)    funkcja F(s) przybiera wartości rzeczywiste dla rzeczywistych s oraz

(2)    część rzeczywista funkcji F(s) przybiera nieujemne wartości, gdy część rzeczywista zmiennej s jest nieujemna.

Funkcję rzeczywistą dodatnią często oznacza się krótko literami frd.

Na podstawie teorii odwzorowań konforemnych stwierdzamy zatem, że funkcja rzeczywista dodatnia przekształca prawą półpłaszczyznę w płaszczyźnie zmiennej zespolonej s na prawą półpłaszczyznę w płaszczyźnie zmiennej zespolonej F(s), a ponadto, że oś rzeczywista w płaszczyźnie zmiennej s przekształca się na oś rzeczywistą w płaszczyźnie zmiennej F(s). jak to ilustruje rys. 21.3.

Rys. 21.3. Przekształcenie płaszczyzny zmiennej zespolonej za pomocą funkcji rzeczywistej dodatniej

Stwierdzamy, że immitancje liniowego dwójnika pasywnego, czyli jego impedanc-ja i admitancja operatorowe, są funkcjami rzeczywistymi dodatnimi.

21.3.2. Własności funkcji rzeczywistych dodatnich

Można udowodnić, że funkcje rzeczywiste dodatnie mają następujące własności: (1) odwrotność funkcji rzeczywistej dodatniej jest funkcją rzeczywistą dodatnią;

(2) funkcja rzeczywista dodatnia nie ma ani biegunów, ani zer w prawej półplasz-czYŻnie zmiennej zespolonej s;

|3) funkcja rzeczywista dodatnia może mieć bieguny jednokrotne na osi urojonej, ii residua w tych biegunach są liczbami dodatnimi.

Dowody tych własności można znaleźć np. w pracach [34, 53].

Obecnie zajmiemy się wymiernymi funkcjami rzeczywistymi dodatnimi, które odgrywają dużą rolę w teorii obwodów elektrycznych. Własności wymiernych funkcji rzeczywistych dodatnich są następujące:

(4)    wszystkie współczynniki wymiernej funkcji rzeczywistej są liczbami dodatnimi, a bieguny i zera tej funkcji są rzeczywiste lub zespolone sprzężone',

(5)    największe oraz najmniejsze wykładniki potęg zmiennej s w liczniku i mianowniku wymiernej funkcji rzeczywistej dodatniej nie mogą się różnić więcej niż o jeden',

(6)    funkcja wymierna F(s) o dodatnich współczynnikach w liczniku i mianowniku jest funkcją rzeczywistą dodatnią wtedy i tylko wtedy, gdy

a)    nie ma biegunów w prawej pólplaszczyżnie zmiennej zespolonej s;

b)    bieguny położone na osi urojonej (włącznie z punktami s = 0 oraz s — co) są jednokrotne, a residua w tych biegunach są dodatnie',

c)    Re[F(ja>)] ^ 0 dla wszystkich punktów osi urojonej, z wyjątkiem biegunów. Własność (6) podaje kryterium pozwalające stwierdzić, czy wymierna funkcja F(.s)

zmiennej zespolonej jest funkcją rzeczywistą dodatnią.

Przykłady. Sprawdzić, czy funkcje Fis) określone w punktach UM3) są funkcjami rzeczywistymi

dodatnimi.

(1)

Fis) = ^:

s² + s + 3 2s+1

Założenie a) własności (6) jest spełnione, bowiem funkcja nie ma biegunów w prawej półpłaszczyźnie (biegun s = —1/2 położony jest w lewej półpłaszczyźnie). Założenie b) własności (6) jest spełnione. Na osi urojonej znajduje się tylko jeden biegun jednokrotny s = x. a z wyrażenia F(s) sr s/2 dla s-» x wynika, że residuum w tym biegunie równe jest I 2. Założenie c) własności (6) jest również spełnione; mamy bowiem

F(jto) -

—tu²+jot + 3    (—ot²+jw + 3)(l—j2w)

1 +j2cu

1 + 4<n²

a stąd

—tu² + 3 + 2tu²    at² + 3

Rc[F(j<n)] =-—-- --— > 0.

!+4tu²    l+4<o²

Rozpatrywana funkcja jest funkcją rzeczywistą dodatnią.

s + 4

(2)

F(.s) =

s²+3s+r

Założenie a) własności (6) jest spełnione. Bieguny jednokrotne rozpatrywanej funkcji są pierwiastkami

równania s² + 3s+l =0 równymi s, = ^( — 3+ ,/Ś) oraz s₂=-( —3 —s/5) ' znajdują się w lewej

półpłaszczyźnie. Ponieważ rozpatrywana funkcja nie ma żadnych biegunów na osi urojonej, więc można uznać, żc założenie b) własności (6) jest spełnione. Założenie c) własności (6) nic jest spełnione; mamy