274 (19)

548 21. Synteza dwójników pasywnych

Rys. 21.4. Ppłączenia Fostera zawierające elementy L. C

Można udowodnić, że omawiane twierdzenie podaje również warunki dostateczne, aby funkcja F(s) była impedancją albo admitancją dwójnika reaktancyjnego. Funkcja F(s) ze wzofu (21.14) nazywa się funkcją reaktancyjną.

Udowodnione twierdzenie umożliwia wykonanie syntezy dwójnika reaktancyjnego, a rezultat przedstawiony jest w postaci połączeń Fostera.

Zazwyczaj funkcja F(s) podana jest w postaci ilorazu dwóch wielomianów. W celu wykonania syntezy dwójnika reaktancyjnego należy tę funkcję wymierną rozłożyć na ułamki proste, jak w wyrażeniu (21.14). Współczynniki k₀, k_x oraz fc, w tym wyrażeniu można obliczać na podstawie wzorów:

k₀ = lim sF(s),

S“* X

k_: = lim

F(s) (s² + a)j)

_; Ys ‘

(21.15)

Przykład. Należy zrealizować impedancję dwójnika

s⁴ + 6s² -1-5_(i² -t-1) (s² + 5)

^S “    s³ + 3.s “ s(s² + 3) '

Rozkładając omawianą funkcję na ułamki proste, otrzymujemy

4s

(21.16)

(s² + l)b² + 5)    .5

Z(S) —-, ,    -= S + — +

s(s +3)

3s 3(s² + 3)’

wobec tego

uĄ = 3.

5    ,    4

k_x = 1, k„ =    2 k. =

*    ⁰    3    *3

Na podstawie tabeli 21.1 znajdujemy dla tej funkcji połączenie Fostera podane na rys. 21.5, przy czym indukcyjności cewek podane są w henrach, a pojemności kondensatorów — w faradach.

o--

Rys. 21.5. Realizacja impedancji wyrażonej wzorem (21.16)

Rys. 21.6. Realizacja impedancji wyrażonej wzorem (21.16)

Obecnie przyjmujemy, żc odwrotność omawianej funkcji przedstawia admitancję. Rozkładając otrzymaną funkcję na ułamki proste, mamy

y,, _    + 3)    _ s    5

(s² + 1)(s² + 5)    2(s²+ 1) ⁺ 2(s² + 5)’

wobec tego

1    ,    1

2 k, = -,    to, = I oraz    2 k₂ = -, w] = 5.

2    2

Zgodnie z tabelą 21.1 znajdujemy dla tej funkcji połączenie Fostera przedstawione na rys. 21.6. Stwierdzamy, że impedancję ze wzoru (21.16) realizują dwa różne obwody przedstawione na rys. 21.5

i 21.6.

21.4.2. Własności funkcji reaktancyjnej

W wyniku podstawienia s=jcu do wzoru (21.14) dla funkcji reaktancyjnej

otrzymujemy

F(ja))=jV(co),

gdzie

V(Q))= ~^ + k„co + ^

(O    ,

2 k_s

co

2 2' a>i — co

(21.17)

Funkcja l/(co) przedstawia reaktancję lub susceptancję dwójnika reaktancyjnego. Po zróżniczkowaniu funkcji V(co) względem co, otrzymuje się

(21.18)

₌    , y 2 k^ + cof)

dm    co²    x ,“i (co?-co²)²

Biorąc pod uwagę, że współczynniki k₀, k^ oraz k, są dodatnie, stwierdzamy, że prawa strona równania (21.18) jest dodatnia, czyli

dV(co)

do;

> O

(21.19)

dla wszystkich wartości co, z wyjątkiem punktów nieciągłości co = co,-, określających bieguny funkcji reaktancyjnej F(s). Oznacza to, że funkcja V(co) jest rosnąca między dwoma kolejnymi punktami nieciągłości.

Omówimy rozmieszczenie biegunów i zer funkcji reaktancyjnej na osi urojonej. Między dwoma kolejnymi zerami musi znajdować się jeden biegun, bowiem w przeciwnym razie w części przedziału między dwoma kolejnymi zerami funkcja P(o>) byłaby malejąca, a jej pochodna byłaby ujemna, co jest niemożliwe wobec nierówności (21.19). W podobny sposób wykazuje się, że między dwoma kolejnymi biegunami musi znajdować się jedno zero, bowiem w przeciwnym razie w części przedziału między dwoma kolejnymi biegunami pochodna funkcji F((o) byłaby ujemna, co jest niemożliwe.