3544073672

1.3. Metody rozwiązywania równań różniczkowych rzędu pierwszego

Zauważmy, że uzyskane równanie jest równaniem Bernoulliego o niewiadomej funkcji x = x(y).

Rozwiązaniem ogólnym tego równania jest _ 1

^X ~ Ce-W-y²+ 2'

Prosta x = 0 będąca asymptotą wszystkich krzywych całkowych zawartych w całce ogólnej, jest również krzywą całkową równania (a).

Zadania

Rozwiązać równania:

i.    v

da; x

,

⁷ da; '

3.    ydx + (x — -x³y)dy = 0

4.    3a;dy = y( 1 4- a; sin a; — 3y³ sin x) da; Rozwiązać problem początkowy Cauchy’ego:

5. y' — 9x²y = (x⁵ + x²)y%, y{0) = 0 6- y' ~y = xy², y(0) = 0

7.    Znaleźć krzywe, dla których odcinek odcięty na osi Ox przez normalną, jest

y²

równy —.

x

8.    Znaleźć krzywe, dla których odcinek odcięty na osi Oy przez styczną, jest równy kwadratowi rzędnej punktu styczności.

Odpowiedzi

1.    y(x² + xC) = 1

2.    y² = x ln —

x

3- x² =-~ V a; = 0 V y = 0

y + Cy²

4. y³(S + Ce^cosx) = x V y = 0

19