3544073681

1.3. Metody rozwiązywania równań różniczkowych rzędu pierwszego

Uwaga 1.1. Równanie m(x)n(y)dx + m\{x)ni(y)dy = 0 jest równoważne alternatywie

—d x    dy = 0 V m.i(x) = 0 V n(y) = 0,

mi(x) n(y)

natomiast równanie

f_x=h(*)h(y)

można zapisać w postaci

JTT = M^x)^dx V f₂{y) = 0.

MI/)

Są to tak zwane równania o rozdzielających się zmiennych.

Przykład 1.1. Rozpatrzmy równanie x(l + y²) dx + y( 1 4- x²) d y = 0. Po rozdzieleniu zmiennych mamy

-7—,—2 ^dx + T~,—2 ^{dy =} °> 1 + x^l 1 + y^z

skąd po scałkowaniu otrzymujemy całkę ogólną wyjściowego równania w postaci

(1 + ^X1 + y²) = cP.

Przykład 1.2. Rozwiązać równanie 2 y\/by — y²dx — (b² + x²)dy = 0,

stąd

ysjby-y² = 0.

da;    dy

b²+x*~ 2y^by -y²~

Po scałkowaniu mamy

C.

Jest to całka ogólna wyjściowego równania.

Z warunku y\Jby — y² = 0 otrzymujemy y = 0 V y = b. Zauważmy, że rozwiązanie y = b jest rozwiązaniem osobliwym, ponieważ przez każdy punkt (xo,b) tej krzywej przechodzi jedna z krzywych całkowych rozwiązania ogólnego (jest naruszona jednoznaczność rozwiązania); y = 0 jest rozwiązaniem szczególnym.

9