matma9

1    1 2

Zatem F = — x² + xy + B. Rozwiązanie równania (x + y)dx + xdy = 0 jest więc postaci ~~x² + xy — C . Można

2    ż

też oczywiście zrobić tak: F_y = Q = x, więc F = Jxdy = xy + A(x), a stąd F_x = y + A'(x) = x + y czyli

A'(x) = x. Zatem A(x) = -x² + B czyli F = xy + -x² +B co oznacza, że rozwiązanie równania

2 2

(x + y)dx + xdy = 0 jest postaci 3² + xy = C.

11. Rozwiązać: a)(x² -y)dx + (y² -x)dy = 0, y ~ = — b)(y² + 2xy³ + (2xy + 3x²y²)- 0, y(l)- 2

v.3y 3

c) (2xy³ + 8x)dx + (3x²y² )dy = 0, y(2) = -1

Wykorzystać: najpierw wyznaczamy rozwiązanie ogólne tak jak w zadaniu poprzednim, a następnie wykorzystujemy podany warunek. y{2) = -1 oznacza, że za x wstawiamy 2, zaś za y —1.

12. Rozwiązać: a) (2y + \)dx + xdy — 0 b) [4xy² + y)dx + (óy³ - x)dy = 0 c) (xy + l}ix + x²dy = 0

d) (y² -x²)dx-2xydy = 0 e)ydx-(x + 2y)dy = 0 f)(e^x — siny)ir + cosydy - 0

Wykorzystać: jeżeli w równaniu Pdx + Qdy = 0, F_y^Q_x, to nie jest ono zupełne i wówczas należy je

pomnożyć przez pewną funkcję fi - //(x,y), zwaną czynnikiem całkującym, tak, aby uzyskać równanie zupełne. Każde równanie da się w ten sposób zamienić na zupełne, ale nie zawsze łatwe jest wyznaczenie czynnika całkującego. W powyższych równaniach jest to zawsze funkcja jednej zmiennej x lub y. Mając równanie Pdx + Qdy - 0 najpierw wyznaczamy P_y, Q_x i sprawdzamy, czy jest to równanie zupełne. Jeżeli nie,

p -Q

Q

to liczymy ———. Gdy wyrażenie to będzie zależało tylko od x, to za //(x) przyjmujemy jedno z rozwiązań

będzie

P -Q    P -Q

równania

——(np. wyznaczamy //(x) i pomijamy stałą). Jeżeli wyrażenie ^y

Q_x-P_v    , _x

zależało również od y, to liczymy ■——---. Gdy wyrażenie to będzie zależało tylko od y, to za p\y)

przyjmujemy jedno z rozwiązań równania ln|//(y)| - J

Q_X~Py

Qx Py

dy. Oczywiście możemy najpierw zacząć od

wyrażenia

Po wyznaczeniu czynnika całkującego otrzymujemy równanie (juP)dx + (pQ)dy = 0, które

już jest zupełne, więc dalej postępujemy z nim tak, jak w zadaniu 10. Np. w przykładzie a jest P - 2y +1,

Q-x. P = 2, Q_x = 1, wdęc nie jest to równanie zupełne. Ponieważ

Py~Q_X 1

Q x

= — zależy tylko od x, więc za

ju(x) przyjmujemy jedno z rozwiązań równania ln|//(x)j = | ^-dx, np. ju(x) — x (ln|/z(x)| - ln|x| + A czyli

ln|//(x)| - ln|x| = A, czyli ln

ju(x)

= A, czyli

m(^x)

X

e^A, czyli = C, czyli p(x) = Cx i stąd np. jn(x) = x ).

Q    -X

Zatem obie strony równania mnożymy przez x i otrzymujemy równie (2xy + x)tńr + x²dy = 0, które, jak łatwo sprawdzić, jest już zupełne. W przykładzie b wyrażenie ^v    zależy również od y, więc je

porzucamy.

Q_X~Py

= —— zależy tylko od y, więc za ju(y) przyjmujemy jedno z rozwiązań równania

p y

3