Cialkoskrypt1

100 2. Statyka płynów

Rozwiązanie

Równanie powierzchni swobodnej jest następujące:

(0²r²

~2°

~z=c.

Ponieważ powierzchnia swobodna przechodzi przez punkt (r, z) = (0, h), przeto mamy:

co²-O²

2g

-h -C,

a więc jej równanie przybiera postać:

co²r²

to²r²

UJ 1    uj i    [    . \

z =-+ h oraz -= gz-h).

2g    2 ^6V '

Z drugiego warunku wyznaczymy wysokość H, przy'której powierzchnia swobodna przechodzi przez krawędź naczynia. Gdy z = H i r = D/z, wtedy

ca² (D

H = —

2g U

+ h.

Zauważmy, że zwiększenie prędkości kątowej co powoduje wzrost wysokości H naczynia, a tym samym wzrost ciśnienia w punkcie B. Rozkład ciśnienia wyznaczymy z równania równowagi:

— = F_x dx + F_ydy + F_zdz = F_r • dr + F_zdz = co² r • dr - g • dz , P

stąd

2 2

co r

p = p₀+p—---p-g-z, gdyż gdy (r, z) = (0, 0), p = p₀.

Teraz dla punktów A(D/2, H) i C(D/2, H) otrzymujemy:

Pa =Po +

2 {2

przeto

Pc -Pa =p-g-H(co)=p-g

— -p-g-H, P_c ⁼Po ⁺~T~‘ T “P*g’0.

co² (D

2g v 2

+ h lub H(to) =

co² D

2g V 2

+ h.

Jest to więc ciśnienie słupa cieczy o wysokości H zależnej od prędkości kątowej (O. Ciśnienie w punkcie B(D/2, h)

Pb “Pa = p ■ g ■ (H - h) = p • g

2g

Na powierzchni swobodnej p = p₀, więc p_A = Po- Ciśnienie wzdłuż osi z jest sumą ciśnienia p₀ i ciśnienia hydrostatycznego. Rozkład ciśnienia dla z - h jest identyczny z rozkładem ciśnienia w zamkniętym naczyniu o wysokości h wirującym z prędkością kątową to, więc na linii O-B ciśnienie w punkcie E

t \ po> r    ,

Pe (^r) = Po +”--p-g-h,

a"w punkcie D

stąd

P D (^r ) ⁼ Po    2 ^pg'^Z’

P_D-PE=-Pg(^Z-^h)’

a ponieważ p_D - p₀ i punkt D(r, z) leży na powierzchni swobodnej o równaniu z = h + (n²r² /(2g), więc

Pe =Po +Pg(^z-h) = po +pg-——.

2g

Na dnie naczynia wartość ciśnienia będzie się różnić od wartości ciśnienia na linii O-B o pgh, gdyż

poo²r _

Pf ~ Po ⁺    ^ Pg ' 0 -

więc

Pd ~Pf =-pg*^z = -pg-

(d²r²

+ h

Pd ^— Po

2 •» orr"

Pf = Po +Pg--r— + Pg-h=p_E +pg-h. 2g

Niech prędkość obrotowa n = 3000 obr/min, D = 0,1 m, p = 1000 kg/m³, h = 0,05 m, stąd

2?tn

0) =-

60

2?t • 3000 60

[rad/s] = 1007t [rad/s].

Wówczas

DV _{h =} (ioo^

2 j 2-9,81

+ 1 = 12,57 + 0,05 = 12,62 m,