Cialkoskrypt8

74 2. Statyka płynów

rⁿ sin md = C.

Powierzchnie (linie) sił są ortogonalne do powierzchni (linii) izobarycznych i ekwipotencjalnych i ich równania różniczkowe wynikają ze styczności sił F do linii jej działania, stąd Fxds-0 . Ponieważ

F = i F_x + j F + kF_z i ds = i dx + j dy + kdz,

to

	i	i	k
Fxds =	F X	^Fy	F ^xz
	dx	dy	dz

- i (F_ydz - F_zdy) + j (F_zdx - F_xdz) + k (F_xdy - F_ydx) = 0.

W formie zwartej równania te mają postać:

dx _ dy _ dz

a we współrzędnych cylindrycznych

dr _ rd$ _ dz

F_r ^Fo ^Fz ’

Po podstawieniu odpowiednich wyrażeń otrzymujemy:

dr    rdid

po przekształceniu

kr^n_l sin m& kr^{n 1} cos n-9

dr _ sinnddfł r cos mD

= 0,

a po scałkowaniu

,    1. cosni5 1. C

ln r = —ln-= — ln-,

n C n cos nd

Ostatecznie, równanie rodziny Unii sił ma postać:

C

r =•

cos md

Ad 2. Składowe siły masowej w kierunkach osi x, y i z są następujące: F_x =3ax², F_y = -6ay, F_z =0.

Wobec tego równanie rodziny linii ekwipotencjalnych ma postać: 3ax²dx - 6aydy = 0, stąd 2ydy = x²dx .

Po scałkowaniu otrzymujemy:

~ = y² + C’ lub x³ -3y² = C,

co jest szukanym równaniem rodziny linii ekwipotencjalnych. Równanie linii sił jest następujące:

dx dy dz

Po podstawieniu odpowiednich wyrażeń otrzymujemy:

dx

3ax²

dy . , dx 1 dy    „

₌ i_ub _ ₌ -_r_2L,    _x,y*0,

6ay

2 y

a po scałkowaniu

¹    1 , r»

— - — lny + C.

x 2

Ostatecznie, równanie rodziny linii sił ma postać:

2    ²-c>    ²

--lny = C' lub y = e^x = C • e^x.

x

ZADANIE 2.6.6

Dane są pola jednostkowej siły masowej:

1.    F_x=4x³y³-3y²+5, F_y3x⁴y²-6xy, F_z=0;

2.    F_x =10xy-8y, F_y =5x²-8x + 3, F_z =0.

Napisać równania rodziny linii ekwipotencjalnych i wyznaczyć potencjał sił masowych U.

Rozwiązanie

Ad 1. Równanie rodziny linii ekwipotencjalnych jest następujące: dU = VU • ds = F_x dx + F_v dy + F_z dz = — = 0,

^y    p

wtedy VU = F, więc

rotF = rotVU s 0,