Cialkoskrypt9

56 2. Statyka płynów

wyższy nie zachodzi, a przepływy takie nazywamy baroklinowymi. Założywszy, że przepływ jest barotropowy, wyrażenie dp/p jest również różniczką zupełną pewnej funkcji U:

_dp_

f(p)'

Funkcję U, zwań ^funkcją ciśnienia barotropowego, wyznaczymy po scałkowaniu powyższych równań:

U(x,y,z)= J~= j(F_xdx + F_ydy + F_zdz).

W przypadku płynów nieściśliwych, w których p = p₀ = const, funkcja U ma postać:

U = — +const. Po

Ponadto

F_x dx + F dy + F_zdz = — = dU = dx + dy + dz, p ax dy oz

skąd wynikają związki:

_au au au

^f'~v ^F*^_&-

Suma F_xdx + F_ydy + F_zdz = F■ds = dp/p oznacza pracę jednostkowej siły masowej F na przesunięciu elementarnym ds, a zatem

dp = pF■ds = pFds cos(F, ds).

Z powyższej zależności wynikają dwie własności:

1) przyrost ciśnienia na jednostkę długości jest największy w kierunku działania siły masowej

F||e,«(F,e) = 0,

max(F-e) = |Fj-[e| => — = pF-e, ds = eds,

¹¹ ds

ponieważ jcos(p,ds)' = 1;

2) ciśnienie nie zmienia się w kierunkach prostopadłych do kierunku wypadkowej sił masowych, gdyż elF, a stąd <(F,e) = 90°, cos(F,dś) = 0 , czyli dp/ds = 0.

2.2. Równanie wektorowe równowagi płynu

Ogólne warunki równowagi cieczy wyrażamy za pomocą jednego równania wektorowego:

F_xdx + F dy + F_zdz = -- = F • dt - — --- dx + -— dy + dz = — gradp • ds,

p l dx dy

czyli dla ds = idx + jdy + kdz

p^F_xi +F_y j + F_zk^ idx + jdy + kdz) =

^ dp r dp- dp r — i +— 1 + — k 9x dy dz

| idx + jdy + kdz).

Po przeniesieniu na jedną stronę otrzymamy (pF - gradpjds = 0, stąd : 1

F = — grad p - grad P, P

dp _ (* dp

F = grad P,

gdzie P jest funkcją ciśnienia dla przepływu barotropowego:

rotF = rot(gradU) = 0.

Płyn barotropowy, a więc również ciecz, może znajdować się w równowadze tylko w potencjalnym polu sił masowych jednostkowych, ponieważ gradU = gradP, czyli U = P z dokładnością do stałej addytywnej C (lub U = P + C, gradC = 0).

Płyn baroklinowy może być w równowadze również w polu niepotencjalnym. Wykażemy, że musi to być pole mające rodzinę powierzchni ortogonalnych do linii pola. Obliczymy rotację z wyrażenia

pF - gradp = Ó

po przekształceniu jej do postaci niezawierającej p, mianowicie

rot(pP - gradp) ~ rot(pF) - rot(gradp) = rot(pF) = 0,

gdyż

i j k

rot(gradp) = V x Vp =

d_ d__ d_ _

dx dy dz dp dp dp

dx dy dz