Cialkoskrypt9

76 2. Statyka płynów

76 2. Statyka płynów

3y3x

3²U    _{3 2}    .

—- = 12x³y - 6y, dxdy

F,=4xV-3y²+5=|p

F =3x⁴y²-6xy = |^,

ay

przeto funkcja U ma różniczkę zupełną dU. Postać funkcji U(x,y) jako całki równania rodziny linii ekwipotencjalnych możemy wyznaczyć ze wzoru:

U(x, y)= JF_xdx = x⁴y³ - 3xy² + 5x + C, (y), ~ = F,.

dy

Obliczamy teraz 3U/3y i porównujemy ze składową F_y, mamy:

3x⁴y² -6yx + c;(y) = 3x⁴y² -6yx = 0, c;(y) = 0; C,(y) = C,

U(x>y) = JF»dy = x⁴y³ -3xy²    |^j=F_x.

Następnie obliczamy 3U/3x i porównujemy ze składową F_x, mamy:

4x³y³ -3y² + C'₂(x) = 4x³y³ -3y² =0,

C'(x) = 5, C₂ (x) = 5x + C,

U = x⁴y³ - 3xy² + 5x + C = 0.

Ad 2. Dane są składowe jednostkowej siły masowej:

F_x =10xy-8y=^, F_v =5x²-8x + 3 = —, dx    3y

jeżeli

3F_y    3F    3F    3F_v    ^ _

—— = 10x-8, —— = 10x-8,stąd    ^    , czyli rotF = 0.

3y    3x    3y    3x

Zatem istnieje różniczka zupełna funkcji U, której gradient jest równy sile F= iF_x + jF_y. Postać funkcji U(x,y) jako całki równania rodziny linii ekwipotencjalnych możemy wyrazić w postaci następującej całki:

X

U(x,y) = [F_xdx=5x²y-8xy+C(y),

*o

■^•-5x¹ -8x + C^/(y) = 10xy -8x + 3, 3y

C'(y = 0) ; C(y) = C + 3y,

F(x, y) = 5x¹y - 8xy + 3y + C.

ZADANIE 2.6.7

We wnętrzu kuli o promieniu R (rys. 2.6) znajduje się ciecz wirująca wraz z kulą wokół pionowej osi. z ze stałą prędkością kątową co. Oś obrotu przechodzi przez środek kuli. Na ciecz działa przyspieszenie a o stałym module, skierowane ku środkowi kuli. Wyznaczyć linie ekwipotencjalne.

cosa = cosp = -cosy =

X

/ 2    "7 I"

yx +y+z

y

Vx¹ + y¹ +z¹

z

•</x¹ +y¹ +z¹

Rozwiązanie

Składowe wypadkowej siły masowej są następujące:

F_v =0) x - a

■y]x¹ + y¹ + z¹

2    3 / 2    2    7    2 3s

= cox-a—-Jx +y +z^_=(Dx-a —, 3x ^    3x

= co y -a—-2 , „2 ^ ^2    3y

r~-= = -a—a/^x~ ⁺ y~ ^{+ z}‘ - -a~,

x/x¹ + y¹ + z" 3z    3z

F = ory-~a

fx + y + z F, = -a

1

   2    2    1 3S

+ y + z =ory - a—•, 3y

3s