Cialkoskrypt4

86 2. Statyka płynów

Dowolną inną powierzchnię ekwipotencjalną, leżącą „częściowo w cieczy”, określa równanie:

86 2. Statyka płynów

2 2 orr

+ gz = C.

Założywszy, że na powierzchni swobodnej panuje ciśnienie atmosferyczne p_a, a ciecz jest płynem barotropowym, otrzymamy:

.2

^-(x² + y²) + gz =

P-P,

;.Vf

>**

Aby wyznaczyć ciśnienie w punkcie M, napiszemy powyższą zależność dla punktu N i M. Punkty N i M leżą na tym samym promieniu r_N = r_M, więc mamy:

-Pn~P. _nra- “>%ł ._C7 -Pm -P.

» ^rN ⁺ 6² N ~    ^0raZ ~ ^rM ⁺ §^Z M ~    *

2    p    2    p

a po odjęciu stronami otrzymujemy:

^{Pm Pn} ~g-(z_M-z_N) = g-H, p_N-p₀,

więc

. 'i* |

&

Pm "Po    ,

skąd wynika, że dla osi pionowej rozkład ciśnień jest rozkładem ciśnienia hydrostatycznego:

Pm ~P_a =P§^H-

■1!

^:,v

Ponadto ciśnienie w każdym punkcie wewnętrznym cieczy jest równe sumie ciśnienia otoczenia i hydrostatycznego, wynikającego z odległości tego punktu od powierzchni swobodnej.

Ciśnienie w kierunku promieniowym (z = const, dz - 0)

dn co²    1    ar -

— = —2rdr,    dp = w²rpdr, p = p — r²+C,

p 2    ^F    F 2

_    (O²    ₂

dlar = 0 p = pgz₀ = C=> p = P~^r +pgz₀, a z równania powierzchni swobodnej to²r² = -2 • g • z , więc

P = Pg(^zo~^z)>

gdzie zmienna z przyjmuje wartości ujemne w przyjętym układzie współrzędnych. Dla punktu M leżącego na osi pionowej przechodzącej przez punkt N mamy: z₀ = = z_M) z = z_N, Zq — Zn — H, co jest wynikiem równoważnym z poprzednim.

■

^W ZADANIE 2.6.14

Zbiornik obracający się względem pionowej osi składa się z dwóch wal-ców współosiowych o stosunku średnic D/d = a (rys. 2.14). Mały walec, którego wysokość h_t -300 mm, w stanie spoczynku wypełniony jest całkowicie wodą. Walce obracają się z prędkością co, przy której powierzchnia swobodna w małym walcu jest styczna do jego dna. Jaka musi być wysokość dużego walca h₂, aby woda nie wylewała się na zewnątrz zbiornika, jeśli swobodna powierzchnia cieczy w tym zbiorniku jest styczna do dna małego walca?

Rozwiązanie

W obszarze I parabołoidę powierzchni swobodnej opisuje równanie:

2 2 CD f

- gz = C.

Stała C = 0, gdyż dla r = 0 i z = 0 jest to warunek styczności do dna. Dla punktów powierzchni swobodnej leżących na wysokości z = h,,r = d/2 otrzymujemy

co² (d/2)²

- g ■ h, = 0,

stąd

a

Objętość cieczy pozostałej w małym zbiorniku (po założeniu, że powierzchnia swobodna jest styczna do dna)

V,=iv=i^h,.

1    2    2 4    ¹

Zatem w zbiorniku górnym pozostanie objętość

v„=v-v,=v-iv=iv=v,.

Równanie paraboloidy dla obszaru II jest następujące:

ar" - bz = C,

a = ■

co

Na podstawie warunku styczności powierzchni swobodnej do dna naczynia r = 0, z = 0, o C = 0.