Cialkoskrypt0

78 2. Statyka płynów

rotF -

i j k

A A A

3x 3y 9z E E, ą

3²s

d²s

= ii -a--+ a

_ jf 9F,

3F_y^

3y dz

-rfdF_x 3F ) _r \dz dx j

9y3z 3z3y

3²s    d²s

“h jf —ćl--h 3.

^J| 3z3x    9x3z

+ k

-a

A^x dy 7

AA₊ d²s

3x3y 9y3x

= 0.

Płyn znajdujący się pod działaniem tego pola jest w równowadze, gdyż rotP = 0, więc pole sił F ma potencjał U określony wzorem: F = VU. Stąd

3s 3 (cn²x²

ŁR=«,’x-a^ = -|.

3x

3x 3x1^ 2

- as ,

9U „    2 3s 3

_ = F,=o) y-a—= —

3U

^²y²

-as

c 9s 3 / x 3z^=F‘⁼'^a& ⁼ a7⁽'^

a więc

U(x,y,z) = —(x² + y²)-gz -\jx² + y² + z² +C = Al—aVr² + z² + C.

We współrzędnych walcowych rodzinę powierzchni ekwipotencjalnych U - const określa równanie:

--aVr² + z² = const - C = C'.

2

Jeśli co = 0, to rodzina powierzchni ekwipotencjalnych staje się rodziną kul o wspólnym środku. Gdy a = 0 (brak działania przyspieszenia), rodzina ta staje się rodziną walców o wspólnej osi z. Jeśli co ^ 0 i a ^ 0, każda powierzchnia rodziny jest powierzchnią obrotową o płaszczyźnie symetrii z = 0.

ZADANIE 2.6.8

Sprawdzić, czy krzywe y₁ = x - x² i y₂=x²-x są ortogonalne.

Rozwiązanie

Dowolne dwie krzywe są ortogonalne, jeżeli kąt utworzony przez styczne do tych krzywych w punkcie przecięcia się krzywych jest kątem prostym (patrz rys.

2.7). Gdy <p = 3-a = 90°, wówczas obie krzywe są wzajemnie ortogonalne w punkcie x₀, a ponieważ tga =    i tg|3 = $'(x₀), to tangens różnicy kątów

tgcp = tg(p-a)

nx₀)-^(x₀)

1 + r(x₀)<E>^/(x₀)’

2- y2 = x^: - x | ■	y
-2	0 i '*..2 ^X
yi = x - x^2 _1
-2-

Rys. 2.8

Rys. 2.7

Jeżeli dwie krzywe są wzajemnie ortogonalne, to (p = rJ2, wtedy ctgtp = 0, czyli l + 'P'(x₀)<t>'(x„) = 0 lub    <b'(x₀) = --2—.

i

Obie krzywe z zadania pokazane na rys. 2.8 mają dwa wspólne punkty, punkty przecięcia: P(0,0) i Q(1,0). Współczynniki kierunkowe dla prostych yj i y₂:

y, = x -x² => ^- = l-2x, ¹    dx

y₂ ^=x2 “^x

fo₂ _

dx

- 2x -1

przyjmują w punktach P i Q odpowiednio wartości:

fol

dx

foi

dx

= 1,

= -l,

fo₂

. ^dx Jf

"fol

dx

= -1,

= 1.

Sprawdźmy warunki ortogonalności krzywych w punktach przecięcia. Dła punktu P