Cialkoskrypt6

70 2. Statyka płynów

Rozwiązanie

Ad 1. Składowe siły masowej w kierunkach osi układu współrzędnych są następujące:

Fx=y> F_y=z.

Składowe wektora rotacji siły mają postać:

	3R	_3Fl_	- dFx	dFz , -	dF	dF
rotxF =	r-^		rot v F = —— -	—- = -1, rot7F =	/	X
	dy	dz	' dz	dx	dx	“ ay -
Iloczyn
		F-rotF	II 1 & 1 1 nTI	= -y - z - x £ 0 .

Będzie on równy zeru tylko wtedy, gdy

F-rotF = 0 <=> x = y- z=0,

zatem płyn znajdujący się pod działaniem tego pola sił masowych nie będzie w stanie równowagi w całej przestrzeni.

Ad 2. Składowe wektora siły masowej F są następujące:

F_x=xy, F_y = yz, F_z=-zx.

Składowe wektora rotacji mają postać:

-x.

₅ 3F    3F_y    gp    3F    3F    3R

^rot.F=-r---r- = -y.    rot F = —^- = ^z.    rot F = —2---—

dy dz    ' dz dx    dx dy

Iloczyn

F-rotF = -xy² +yz² +zx² *0.

Wynika stąd, że poza przypadkiem, gdy

x = y = z = 0,

płyn nie będzie w równowadze.

Ad 3. Składowe wektora siły masowej są następujące:

F_x=yz, F_y =-zx, F_z=(x² + y²).

Składowe wektora rotacji mają postać:

- 9F dF    _ dF 3f

^rotx^{F =} 3^“-T- = 2y+ x, rot F = —ⁱ---~^- = y-2x,

dy dz    dz dx

Iloczyn

9F_V 3R

rot„F = -

- -2 z.

3x 9y

F-rotF = yz(2y + x)-zx(y-2x)-2z(x² + y²)=

= 2y²z + xyz- xyz + 2x²z-2x²z-2y²z = 0.

Jak widać, warunek został spełniony, więc płyn będący pod działaniem tej siły znajduje się w stanie równowagi względnej.

ZADANIE 2.6.3

Dane jest pole jednostkowej siły masowej

F = (xyz)^m(xⁿi +yⁿj + zⁿk).

Sprawdzić, dla jakich wartości wykładników m i n płyn znajdujący się pod działaniem tego pola będzie w stanie równowagi.

Rozwiązanie

Składowe wektora siły masowej są następujące:

^Fx =(xyz)^mxⁿ; F_y =(xyz)'ⁿyⁿ; F_z =(xyz)^mzⁿ. Składowe wektora rotacji mają postać:

Iloczyn

F-rotF ~ m(xyz)²

rot„ F =

aą	9Fy
dy	dz
K
dz	dx
dFy
dx	dy
(
z	_ y_|
k y	^z J

m(xyz

+ y

x^_z^

Z X

y__

x y

V zⁿ

+ +z

n y

_{= m}(_xyz)_2m (xz)ⁿ    (xy)ⁿ    _| (xy)ⁿ    (zy)ⁿ    _| (yz)ⁿ    (xz)»

y z z x x y

Płyn niejednorodny znajduje się w równowadze dla każdego m i n.

= 0.