Cialkoskrypt2

62 2. Statyka płynów

M

li

r x yznd A = y }r x ziid A.

A

(2.5)

Normalna n ma stały kierunek na całym wycinku A, wobec czego układ parć elementarnych jest układem równoległym. Parametr takiego układu jest równy zeru, a zatem p * 0 i układ sprowadza się do siły wypadkowej F, przy czym moment pary wypadkowej jest równy zeru.

Zauważmy, że moment elementarny parcia r x pfldA jest wektorem leżącym w płaszczyźnie ściany, zatem moment ogólny też leży w płaszczyźnie ściany. Wobec tego jest on normalny do wypadkowej F, a zatem iloczyn skalarny M • F = 0.

Obliczymy moduł wypadkowej F, a następnie określimy punkt jej przyłożenia S_p. Ze wzoru (2.4) z uwzględnieniem zależności (2.3) mamy:

F = y J jzdA = y j f (C cos a + £sin a)dA = Ysinaff4dA,    (2.6)

AA    A

gdyż C, = 0 na powierzchni A. Całka ta wyraża moment statyczny wycinka A względem osi y.

Oznaczmy symbolem £# rzędną środka ciężkości S_c tego wycinka, wówczas z₀= = łysina (£ - 0) i oznacza odległość tego punktu od zwierciadła cieczy, a Ps_c ⁼ Y^zo J^est ciśnieniem w środku ciężkości S_c. Po przekształceniu wzoru (2.6) otrzymamy:

F = Ysina^₀A=Yz₀A = p_ScA.    (2.7)

Uzyskany wynik oznacza, że parcie na wycinek płaskiej ściany zbiornika jest równe iloczynowi pola powierzchni tego wycinka i ciśnienia panującego w środku jego ciężkości.

Z kolei określimy punkt przyłożenia S_p siły F, czyli tzw. środek parcia. Oznaczymy przez r_p promień wodzący tego punktu (leży on w płaszczyźnie ścianki A), stąd

r_p=Up+]ilp i ę_p=0-

Ponieważ układ parć elementarnych na ścianę płaską sprowadza się do siły wypadkowej, przeto ?_p xF = M. Po podstawieniu do tego wzoru siły i momentu, określanych wyrażeniami (2.4) i (2.5), otrzymujemy:

?_p x J Jzdx = j Jr x zndx,

A    A

;&■

i

skąd następnie wynika, że

r_p x n J J^dx = J jr x ńć,dx.

A    A

Ponieważ n - l, gdzie l jest wektorem na osi £, przepiszmy poprzedni wzór w postaci:

(Ą_P + jTlp)xr J J^dA = J|(T^p +j^rip)x/"^dx

A    A

(w układzie: r\, E,, ę o wersorach i, j,l ), a stąd otrzymujemy współrzędne środka parcia:

l J£ndA _T

(2.8)

(2.9)

A_₌

^P    ff^A    ą₀A’

A

IR²** _In

^P    fJ4dA ^₀A'

Jak widać, składowe te są wyrażone odpowiednio momentem dewiacji Ią_n, momentem bezwładności 1^ i momentem statycznym wycinka A. Nie zależą one od kąta nachylenia wycinka względem zwierciadła cieczy. Korzystając z twierdzenia Steinera: I_n = I + Al,q , wzór (2.9) możemy wyrazić w innej formie:

aio)

AC, o

gdzie I oznacza moment bezwładności wycinka A względem osi równoległej do

zwierciadła cieczy i przechodzącej przez środek ciężkości S_c wycinka. Z otrzymanego wzoru wynika, że £_p >£₀, co oznacza, że środek parcia na wycinek płaskiej

ściany leży zawsze poniżej środka ciężkości tego wycinka bądź oba punkty się pokrywają, gdy wycinek A jest poziomy (a = 0, ł;₀ = °°).

Parcie cieczy na ściany zakrzywione

Parametr układu parć elementarnych wywieranych przez ciecz na ścianę zakrzywioną jest na ogół różny od zera, a więc układ sprowadza się do parcia wypadkowego i do pary sił o momencie różnym od zera. Jest to o tyle ważne z technicznego punktu widzenia, że utrzymanie zakrzywionej ściany w równowadze wymaga przyłożenia do niej nie tylko siły przeciwnej do parcia wypadkowego, ale także pary sił o odpowiednim momencie. Do utrzymania w równowadze ściany płaskiej wystarcza natomiast siła przeciwna do parcia wypadkowego przyłożona w środku parcia.