Cialkoskrypt1

60 2. Statyka płynów

tylko wtedy bowiem podane pole jest potencjalne (wynika to z równości pochodnych mieszanych). Jeżeli warunki całkowania są spełnione, to istnieje różniczka zupełna potencjału:

dU = F_x (x, y, z)dx + F_y (x, y,z)dy + F_z (x, y, z)dz =

= (F_x i + F_y j + F_zk) (idx + jdy + kdz) = 0,

co oznacza prostopadłość wektora pola F do wektora ds stycznego do tej powierzchni. Korzystając z reguł całkowania różniczki zupełnej, otrzymujemy:

U(x,y,z)= f F_xdx+ f F_ydy + {F_zdz + U(x₀,y₀,z₀). xo    yo    ^zo

2.4. Parcie płynu na ściany ciał sztywnych

Rozpatrzmy dowolną powierzchnię materialną A, otwartą lub zamkniętą będącą ścianą zbiornika zawierającego płyn bądź ścianą ciała stałego zanurzonego w płynie. Oznaczymy przez n normalną (wektor normalny, |fl) = 1) do powierzchni A,

zewnętrzną względem płynu, a przez p - ciśnienie na tej powierzchni. Iloczyn p3dA wyraża przy tych oznaczeniach siłę wywieraną na element dA powierzchni. Siłę tę będziemy nazywać parciem elementarnym. Wypadkową układu parć elementarnych jest całka

F=ffpndA,    (2.1)

A

nazywamy jąparciem całkowitym łub wypadkowym. Analogicznie całka

M= j*JrxphdA dla |r| = i/x² + y² +z²    (2.2)

A

przedstawia moment ogólny układu parć elementarnych względem początku układu odniesienia.

Przypomnijmy znane z teorii wektorów pojęcie parametru układu wektorów. Jest to iloczyn skalamy sumy wektorów i momentu ogólnego, przy czym ten ostatni stanowi wypadkową momentów poszczególnych wektorów układu względem tego samego dowolnie obranego bieguna. Parametrem układu parć elementarnych będzie wobec tego iloczyn F-M. Jeżeli układ parć elementarnych jest płaski, parametr układu jest równy zeru, ponieważ wektory F oraz Ivl są wówczas prostopadłe do siebie. Otóż, jeżeli parametr jest różny od zera, układ sprowadza się do wektora wypadkowego i pary wektorów. Jeżeli parametr jest równy zeru, a wypadkowa układu jest różna od zera, układ sprowadza się do wektora wypadkowego.

Moment pary jest w tym przypadku równy zeru. Obliczenie całek (2.1) i (2.2) musi być poprzedzone określeniem ciśnienia jako funkcji punktu na powierzchni A.

Parcie cieczy na ściankę płaską

Niech A będzie wycinkiem ściany płaskiej zbiornika zawierającego ciecz o ciężarze właściwym y; powierzchnia A jest nachylona pod kątem a do zbiornika cieczy.

0

Zakładamy, że pole grawitacyjne jest polem jednorodnym. Niech prostokąt OABC z rys. 2.2 oznacza płaską ścianę zbiornika, a jego zakreskowany wycinek - interesującą nas powierzchnię A. Jako oś y prostokątnego układu odniesienia obierzemy linię przecięcia ściany zbiornika z powierzchnią swobodną cieczy. Oś x również niech leży na powierzchni swobodnej, a oś z niech będzie zwrócona w dół, zgodnie ze zwrotem przyspieszenia ziemskiego. Wprowadzimy ponadto drugi układ prostokątny r|, obrócony względem poprzedniego o kąt a wokół osi y. Wówczas

y^=TI

(2.3)

x = i; cos.a - £ sin a V, z = ęcosa + ^sin a

przy czym w płaszczyźnie ścianki £ = 0. Załóżmy, że zbiornik jest otwarty i ciśnienie otoczenia jest stałe. Przy tym założeniu ciśnienie, a ściślej różnica ciśnień w punktach ścianki leżących na wspólnej normalnej do ścianki po stronie zwilżanej i niezwilżanej, jest wyrażone iloczynem (ciśnienie hydrostatyczne): p = yz. Całki (2.1) i (2.2) przybierają następującą postać:

(2.4)

F = J JyzńdA = yn JzdA,