Cialkoskrypt8

54 2. Statyka płynów

Ponieważ ciśnienie normalne jest naprężeniem ściskającym, przeto siły parcia są skierowane do wnętrza elementu (rys. 2.1). Wyznaczymy warunek równowagi dla elementu płynu znajdującego się pod działaniem poła sił masowych F = (F_x,F_y,F₂).

Warunek równowagi wymaga, aby suma wszystkich sił, kolejno w kierunku osi x, y, z, była równa zero. Rozważmy najpierw ten warunek dla osi x, W kierunku osi x działają siły:

1)    parcia na ściankę zawierającą punkt A (x, y, z)

p(A) ■ Ay ■ Az = p(x, y, z) • Ay • Az

2)    parcia na ściankę zawierającą punkt B(x + Ax,y + Ay,z + Az)

-p(B)- Ay • Az = -p(x + Ax,y,z)-Ay-Az,

3)    masowa F_x Am = F_x (x_s, y_s, z_s) • pAxAyAz, działająca w środku ciężkości S(x_s, y_s, z_s) elementu.

Gdy wymiary są skończone, punkty A, B i środek ciężkości S się nie pokrywają. Wartość ciśnienia w punkcie B można wyrazić przez ciśnienie w punkcie A, rozwijając funkcję p(x + Ax, y, z) w szereg Taylora wokół punktu (x, y, z):

p(x + Ax, z) = p(x, y, z) + —--—- • Ax, 0 < 0 < 1.

dx

Suma sił w kierunku osi x wynosi

(p(A) - p(B))AyAz + F_x (s) • pAxAyAz

i dla zachowania równowagi musi się zerować. Po uwzględnieniu zatem powyższego rozwinięcia w szereg Taylora otrzymujemy

stąd

dp(x + 0-Ax,y,z) dx

+ P'Fx(S)

AxAyAz - 0,

1 dp(x + 0 ■ Ax,y,z) p    3x

Fx(s).

gdzie gęstość p jest pewną średnią gęstością w objętości Ax, Ay, Az. Punkt (x + + 0Ax, y, z) leży wewnątrz objętości elementu, na linii łączącej punkt A i B, punkt S zaś w wyniku zmiennej gęstości może nie leżeć w środku geometrycznym elementu. Po zmniejszeniu średnicy (przekątnej) elementu ^(Ax)² +{Ay)² +(Az)² —> 0

wszystkie punkty tego elementu przechodzą w jeden punkt i powyższe równanie równowagi w kierunku osi x przyjmuje postać:

i .M^l_=Fx(x,_y,_z).

p(x,y,z) dx

Analizując dokładnie tak samo równowagę w kierunku osi y i z, otrzymujemy równania równowagi w kierunku tych osi, mianowicie

¹ dpfr.y.²) -_{F v 7}\    ¹    3p(x,y,z)_    /    \

/    \    „    hy\x,y,z), /    \ -j b_z (x, y, zj.

p(x,y,z) dy    p(x,y,z) dz

Jeśli pomnożymy kolejno siły F_x, F_y, F_z przez dx, dy, dz, po dodaniu stronami otrzymamy:

F_xdx + F dy + F₂dz = —    + -~dy + -^dz

p l dx dy

dz

dp

5

P

a ponieważ dś = idx + j dy + kdz , dF = i ■ F_x + j • F_y + k * F_z, więc elementarna praca wykonana przez siłę F na drodze ds

dp

dL = F • dś = — .

Gdy powierzchnie stałego ciśnienia p(x,y,z) = const pokrywają się z powierzchniami stałej gęstości p(x,y,z) = const, wówczas w całej objętości wypełnionej płynem każdemu ciśnieniu p przyporządkowana jest ściśle określona gęstość p = f (p).

!

Przepływy, w których zachodzi powyższa zależność, nazywamy barotropowy-mi. Gdy powierzchnie stałego ciśnienia i gęstości nie pokrywają się, związek po-

L