Cialkoskrypt9

96 2. Statyka płynów

CO_n =

4gH

D²

=> 0),

Ad 2. Stosunek objętości wody wylanej do objętości naczynia

V

1 7tP²

2~T~

(H-Z₀)

H

3 H-z₀ 2 H

3    2g    _ 3

2    H 4'

1 7tP² 3 4

Rys. 2.22

7 ZADANIE 2.6.19

Cylindryczny zbiornik obracający się względem osi pionowej jest wypełniony wodą do wysokości h = 0,3m w stanie spoczynku (rys. 2.23). Jaka musi być średnica D i wysokość H, aby woda się nie wylała, a swobodna powierzchnia wody w zbiorniku była styczna do dna naczynia? Obroty zbiornika n = 450 obr/min.

Rozwiązanie

Równanie powierzchni swobodnej jest następujące:

(j0²r²

+ sz = C.

Ze względu na styczność do dna, jeśli r = 0 i z = 0, to C = 0. Stąd powierzchnię swobodną można wyrazić równaniem: a dla r = D/2 i z = -H (minus ze względu na układ odniesienia)

cq²D²

- gH = O,

8

Obliczmy objętość pod paraboloidą. Równanie paraboloidy we współrzędnych r, z ma postać: z =-ar². Jeśli r = D/2 i z = -H, to

i dalej

a

4H

D²

z - -

4H

D²

r

2

Wobec tego objętość

D    D

7    2    (

V = ]2Ttr(-z)dr = J27tr —r²

o    o

8nH 1 ( D Y _ 2nH I f D j‘ _ D² 4UJ ~ (D Y ⁴l 2 J '

D

87tjU .2

^|dr=7fr J^{r dr =}

D o

jtHf DV ₌ tlHR^:

czyli widać stąd, że objętość pod paraboloidą jest równa połowie objętości walca o tym samym promieniu i wysokości. Ponieważ

więc

7tR²H

2

7tr²h,

H = 2h.

Wysokość paraboloidy jest więc dwa razy większa od wysokości zwierciadła cieczy w spoczynku.

Z równania powierzchni swobodnej w punkcie wierzchołkowym wynika, że

orD²

8

-gH = 0,

więc

t-,2 _ 8gH _ 16gh to² u)²

27tn

~60

27t450    tc450 . _ 1

---= 15rt-,

60    30 s

czyli

D = -Xh =—J9,8i-0,3=0,146 m. 0)    157t