Cialkoskrypt6

90 2. Statyka płynów

Wysokość h₂ musi być taka, aby ciecz nie wylała się z naczynia. W chwili początkowej to = 0, objętość cieczy V₀ = hj(7td²/4), a dla obracającego się walca objętość wody w zbiorniku pod paraboloidą

1 7t-d² ,,    , _v

^v*=- —‘(^h,+^h2)*

Z równości V_w =V₀ otrzymujemy:

7t-d"

hi = — •—+h₂), stąd h₂ = h, oraz    to = ^^/gh^.

VZADANIE 2.6.15

Rozważyć warunki równowagi cieczy wypełniającej całkowicie lub częściowo bęben cylindryczny o promieniu R obracający się dookoła swojej osi

poziomej (prostopadłej do rys. 2.16) _c + k • z ^z© stałą prędkością kątową co.

Rozwiązanie

Współrzędnymi punktu elementu cieczy wewnątrz bębna są (x, z), a składowe siły masowej F są następujące:

F_x=to²-x, F_z=to²z-g. Zatem równanie różniczkowe wyznaczające rozkład ciśnienia ma postać:

— = F_xdx + F_zdz = co²xdx + (co²z - g)dz,

dp

= d

^to²x² to²z² ^

-+--gz

2 2

, stąd

“ = ~-(^x2+z2)^_S’^{Z + C}°'

Jeśli p = const, to

2 2 2 2 to x to Z -----+

to

------gz = C, —

2 ¹ 2

x²+z²-^ę = C,

to

lub po uzupełnieniu do pełnych kwadratów:

Zatem powierzchnie stałej wartości ciśnienia są okręgami o środku w punkcie C(0, g/co²) (rys. 2.17). Ponieważ siły masowe F są prostopadłe do powierzchni stałego ciśnienia, które są okręgami o środku w punkcie c(o,g/co²), przeto kierunek ich działania jest zgodny z promieniem okręgu, a więc linie sił stanowiących wypadkowe siły ciężkości i siły odśrodkowej tworzą pęk promieni wychodzących ze stałego punktu C.

Wartość parametru g/co² zależy od prędkości kątowej obrotu: gdy co rośnie, wyraz g/co² maleje, a zatem oś współśrodkowych powierzchni cylindrycznych powierzchni stałego ciśnienia zbliża się do osi obrotu.

Do równania określającego linie sił możemy dojść przez rozwiązanie równania różniczkowego powierzchni ekwipotencjalnych; ma ono postać:

dx _ dz dx dz F_x F_z ’ co²x orz - g ’

—yln x = in(u)²z - g)+ -Un C₂, co² co²    co²

lub