Cialkoskrypt9

136 2. Statyka płynów

H² —= h² => h=H £

Ti    Ui

Zadanie to można uogólnić na bryły obrotowe postaci z = a*r“. Parametr a wyznaczamy z warunku przechodzenia powierzchni z = a-r^a przez okrąg o promieniu R leżący na wysokości h (rys. 2.49):

h = a-R“,

więc równanie krzywej

r

d72 a objętość pomiędzy górną płaszczyzną z = ha powierzchnią obrotową

dV = r²dz = r²d

R“

a-TC-r² • r^a_i

Przeto po scałkowaniu

d/2    d/2

V = JdV=-^EL f r^a+ dr =

2

Tth

d '

2

a

a-i-2 \2)

-T⁺² =

a    d'h

--TC-

a + 2    4

Dla a —> <*> objętość V -» (7td²h)/4 = V_walca.

Z warunku równowagi W = G mamy:

W = y-V-h^ —-h-y,, G = ^-H y 4 ^M 4

a z równania powierzchni obrotowej dla z = H, r = D/2 otrzymujemy związek pomiędzy H i h:

H (D

D

— = —    => H =h • —

Łączymy powyższe zależności i otrzymujemy:

red²

h-Y, =

tcD²

*Y»

stąd

d =

1

Ul

2+a

D oraz h = H-j^l = H-

Y ^a+2

Yi

Y<Yi

ZADANIE 2.6.38

Cylindryczny zbiornik otwarty od góry i wypełniony częściowo rtęcią jest zanurzony w wodzie (rys. 2.50). Obliczyć maksymalny poziom h rtęci w zbiorniku, jeśli głębokość zanurzenia nie ma być większa niż t = 0,2 m. Wymiary naczynia: l - 0,25 m, r = 0,1 m, grubość ścianek i dna b = 0,003 m. Wykonano je z aluminium o gęstości p_At = 2670 kg/m³. Gęstość rtęci p_Hg = = 13600 kg/m³, wody p _w = 1000 kg/m³.

Rozwiązanie

Aby zbiornik pływał po powierzchni, musi być zachowana równowaga sił: W = G, przy czym siła G pochodzi od ciężaru naczynia wraz z zawartością, a W od wody wypartej przez nie. Zależności opisujące te siły będą miały postać:

W=V₂p_wg,

wyparta objętość wody oraz

V_z = 7t{r + b)²1 G = G_a, +G_Hg,

gdzie G_Ai i Gn_g są ciężarami naczynia i zawartej w nim rtęci. Jak widać z rysunku Gai =^s7CP_Ai[(^{b + r})²-^r2 (/-b)g + 7up_Al(r+b)²bg =

“ftpAiS ((b + r)²-r){/-b) + (r+b)²b

^Ga_e = rcp_Hggr²h.

Stąd po podstawieniu otrzymujemy ciężar całego zbiornika: