Cialkoskrypt0

158

2. Statyka płynów

dA = R - dcp - 2rar = R -d(p - 2ti- R • cos(p = 27uR² -coscp - dcp, dA_z =dA - sin (p= 27cR² sin cp • cos (p • dtp,

a • z

^dpz =    j.g.p₀-z-dA_z =

Ponieważ z = h - R • sin cp, więc

z + ■

a-z

2 \

g-p₀ -2tiR² sincpcoscp- dcp

dP_z = 2p₀ • g • tcR² x

ęy ,    j    ₄

h + —^—— -sincp-coscp-(R + a-h -R)sin² <pcoscp4--^—sin³ cp coscp

a po scałkowaniu w granicach od -n/2 do n/2

P_z =2p₀g-7rR^;

, a-h² ) 1 . ₂ f-n , t,\ ¹ • 3 a-R² . ₄

h +-[-—sili <p-(R + a-h 'R;*—sin 94--sm cp

2 J 2    3    8

"""^R³ p°(l⁺ a-h)-g = -j7cR³ • p_s g = -V_k *Ys ⁼“G, G = V_k -p_k g.

Ze względu na przyjęty układ współrzędnych (oś z jest skierowana w dół) znak ujemny oznacza, że siła wyporu działa ku górze. Siła wyporu jest równa sile wyporu dla tej kuli, gdyby znajdowała się ona w płynie o stałej gęstości p_s; gęstość taka panuje na poziomie środka ciężkości kuli.

Z wyprowadzonej wyżej zależności: )P_zj = G wynika, że

V_k -p₀(l + a-h)-g = V_k -p_k -g,

stąd głębokość zanurzenia kuli

h=-

a

Rozważmy ten sam problem, jeśli zamiast kuli weźmiemy walec. Dla walca o promieniu R i długości L (w kierunku prostopadłym do rys. 2.68) mamy:

dA = Rdcp-L, dA_z = R • L - sin cp-dcp,

.2 \

z4-a-

R • L • sin cp ■ dcp,

z = h - R • sin cp,

dcp,

2. Statyka płynów

159

dP_z = p₀ g-R-L

h +

a-h

/    . a• R² . ,

- R(1 + a • h) • sin <p + —---sin <p

sin (p - dcp.

Stąd po scałkowaniu w granicach od - tc/2 do 7t/2 i wykorzystaniu związku: cos2(p=cos² (p-sin² <p = l- 2sin² <p-> sin² cp = ^-(l-cos² (p)

otrzymujemy:

P_z ⁼ 2p₀ * g • R • L

^    a-h²^

h +-

1.2 Cf ‘ R . 4

■—sin (p +...........--sin (p

2 8

n/2

-n/2

-2p₀g-R²L-(l + a-h)- J ¹ . ^C^^S— — d<p =

-n/2

= -jcR² ■ L• p₀(l + ah)-g = -A-L-p₀(l + a h)-g = -V_walC3 -p₀ *(l + ah)-g = -G_walcs. Zatem dla G_walca = tcR² • L ■ p_waIca ■ g z wamnku równowagi W = Q otrzymujemy: V_walca -Po(l + a-h)-g=A-p_watca -g,

_ P waiea P 0

a

Zatem dla kuli i walca otrzymaliśmy identyczną strukturę wyniku.

ZADANIE 2.6.50

Rys. 2.69

Baion o masie własnej m_b = 500 kg i objętości właściwej V_b = 2000 m³, wypełniony podgrzanym powietrzem, ma się unieść na wysokość H = 2 km n.p.m. Obliczyć temperaturę t_b, do jakiej musi być podgrzane powietrze, aby baion uzyskał założoną wysokość. Założenia: powietrze traktujemy jak gaz doskonały (wykorzystamy równanie Clapeyro-na), ciśnienie otoczenia oraz ciśnienie wewnątrz powłoki są równe: p = p_b, balon u dołu jest otwarty, temperatura powietrza w powłoce jest wyrównana w całej objętości, parametry otoczenia na wysokości H = 2 km odczytane z tablicy D.33 wynoszą: p = 0,795bar =

= 0,795 • 10⁵ N/m²; t = 2°C, p = 1 kg/m³.