Image0112 BMP

Rozwiązanie równania Poissonu (11.46) przedstawiamy w postaci podwójnego szeregu ouriera względem ciągu ortogonalnego {cos t\.v cos //„>’); mamy

• t i

»(*.)')= Y ^Ak«, COSl'_tA'COS/(_my.    (11.56^-)

*, m == 1    '

unkcję B₀(x, y) znajdującą się po prawej stronie równania (11.46) przedstawiamy rów-ei w postaci takiego szeregu, otrzymując

(11.57)

B₀(x,y) = Y ^Bkm cos v_tx cos/(,„>■,

k, m ■ 1

Izie:

^Bkm~ i

K*L

B₀(x, y) cos v_kx cos/<„>• d.cdy.

(11.58)

> podstawieniu wyrażeń (11.56) i (11.57) do równania (11.46) i uwzględnieniu zalę-oSct

3 2    ? 2 ,

0 Vjt,„    V    ,

. ₂ H ■ „ 2

i A W

i aj duje my

“ Z    VVCOS/i_m>-=jw>’0 Z ^Btm ^{cos v}* -V COS (i,_H y,

k, m - 1    *««?”!

ąd otrzymuje się

^ftnt    j«>y łl^Bkm ’

■»bce czego

.    B_k,„ }<oy_{)H_km

^Ak„~~Jfjyff -- = -    ,27—2 • •

’ /^ji

Dowiązanie rozpatrywanego zagadnienia przybiera zaiem posłać

,•    _v    rn    kłtt

u ( a , y) = -)«jyg Y T,’ ₂ cos cos/i,„ r,

k, m= I Vj. + (i_m

eli — a<x<a_t ~b<y<b, przy czym B_km oblicza się na podstawie wzoru (11.58). Gę-ttó prądu w płytce oblicza się przy zastosowaniu wzorów (9.71).

Otrzymane rezultaty można sLosować w przypadku bardzo cienkich płytek o nic-dkich rozmiarach, ze względu na pominięcie oddziaływania prądów wirowych.

.3. Metoda przekształceń całkowych

3.1. Uwagi ogólne

W wielu zagadnieniach dotyczących obszarów nieograniczonych poszukuje się rozdania w postaci całkowej, a metoda postępowania nosi nazwę nu-lody przekształceń ko wy eh.

Niech /(.v) oznacza funkcję zmiennej rzeczywistej x. Przekształceniem całkowym

(transformacją całkową) funkcji /(*) nazywamy wyrażenie

^f(^s)= $f(x)K(s,x)dx,    (11,59)

a

które funkcji f{x) przyporządkowuje funkcję F(s) zmiennej s. Funkcja f(x) nazywana jest oryginałem, zaś funkcja F(s) — transformatą.

Wyrażenie

00

/(*)*= jF(s)fl(s,Jc)ds    (11.60)

b

przyporządkowujące funkcję /(*) funkcji F(s) nosi nazwę przekształcenia odwrotnego. Funkcje K{s,x) oraz H(s, x) nazywamy jądrami przekształceń całkowych.

Przykładami przekształceń całkowłch są przekształcenie Lap!ace’a (rozdz, 16 w t. I) oraz przekształcenie Fouriera (rozdz. 22 w t. I). Stosuje się również inne przekształcenia całkowe, jak na przykład przekształcenie Mci li na, przekształcenie Hankela itd. łnfor-mucje na temat różnych przekształceń całkowych podane są w pracach [4, 12].

Stosując metodę przekształceń całkowych do rozwiązania równania różniczkowego, przekształcamy wyraz po wyrazie w tym równaniu i po uwzględnieniu warunków brzegowych otrzymujemy równanie, z którego wyznaczamy transformatę rozwiązania. Rozwiązanie zagadnienia otrzymujemy, znajdując przekształcenie odwrotne. W przypadky równań różniczkowych cząstkowych, metodę przekształceń całkowych można stosować kilkakrotnie, w odniesieniu do każdej zmiennej niezależnej.

W niniejszym rozdziale zajmiemy się zastosowaniem przekształcenia Fouriera do analizy pól elektromagnetycznych, Zakładamy, że funkcja f(.x) zmiennej rzeczywistej v określona w przedziale nieskończonym (— x:, +oo) spełnia warunki Dirichleta (por. p. 11.2,1) w dowolnym przedziale skończonym (a. A), a ponadto jest bezwzględnie cal-

+ ęto

kowalna w przedziale ( — co, -t-r/c), czyli istnieje całka j |/(.v)|d.v. Warunkiem konie-

— ty..

cznym (ale nic wystarczającym) istnieniu tej całki jest, aby /(.\j-rO, gdy x-*-±go. Przekształcenie Fouriera funkcji f(x) przedstawia wzór

jF {/(*)} =F(®) = j f(x)c’^J"“d.v,    (11.61)

a przekształcenie odwrotne ma postać

.F“^l{F («)}=/(*) =

1

2łt

(11.62)

Przekształcenie Fouriera pochodnej rzędu n funkcji f(x) wyraża się wzorem

{/<"**)}-(ja>)"F(«).    (11.63)

Niech ó(x) oznacza funkcję impulsową Diraca. JeżeliJ\x) jest funkcją ciągłą zmiennej x, to

J f(x) <5 (x - t) d x =/(t) .    (11.64)

“ oo

Wzór ten wyraża właściwość filtrującą funkcji impulsowej Diraca.