Image0120 BMP

ego ogólnym rozwiązaniem jest

ego ogólnym rozwiązaniem jest

(11.120)

\btayub‘Ka    . a*

^,n>    - ' - ,    ^; (    U2!>1' 2b

e: (.'1, Ci są stałymi całkowania.

Warunki brzegowe Ola rozwiązania równania różnic/kowego (11.119) przybierają postać 1 ( - «J — (u) = 0, wobec czego uzyskujemy spełnienie warunku brzegowego (11.47) dla a = ±a. Spełnienie warunku brzegowego dla .4(_v) wymaga, aby funkcja ta była parzysta względem -v, co ma miejsce, C₃ = 0 w zależności (11.120). Podstawiając .v— t. rr do tej zależności, otrzymujemy zatem

C'i=i

eh

2 b

Jnic z warunkiem brzegowym, wobec czego

ltwjygh Ii„

A < a )=.i

Przybliżone rozwiązanie rozpatrywanego zagadnienia wyraża się wzorem

, l (iwyg.'y B_n

,/ ^1 eh	ii.r	\
	2 b	i *y
	- -1	1 cos •
	tu;	2 b
ch	2b

i/(a, >')=j

tdowe gęstości prądu w płytce obliczamy na podstawie wzorów (9.71), otrzymując

U™ \

1 im    Sf')ybli„

Jx=.....j

(/ (" r    rt"

2 b

- 1

2 b

01.122)

¹    it r

sb

( r'u Sciyhllti    2b    a.r

J _v = — -    ■ = — )    .    ■ ■■ COs

fi r.\    '    ir“    Itn Ib

cli

Ib

.5. Metoda równań całkowych 5.1. Uwagi ogólne

Zagadnienia brzegowe polegają, jak wiadomo, na wyznaczeniu rozwiązania układu wnań różniczkowych przy spełnieniu określonych warunków- brzegowych. Wspomniany lad równań różniczkowych zawiera na przykład równania Laplace’a lub Helmholtza, vięc równania o stosunkowo prostej postaci. Podstawową trudność tej metody stanowi dnienie warunków brzegowych. Moż.liwy jest inny sposób podejścia do zagadnień tcgowych, a mianowicie sformułowanie w postaci układu równań całkowych. Tego rodzaju sltłt tniił[>\Młiiic pozwala w stosunkowo prosty sposób uzyskać spelun-nic wauników brzegowych, .1 samo rozwiązanie zagad ni cni a otrzymuje się przy zic-Iom > wanm metod przybliżonych.

Istnieje szereg metod przybliżonych rozwiązania równań całkowych [K, 11, 271- W dalszym ciągu ograniczymy się do omówienia prostej metody, która sprowadza równania całkowe do układu liniowych równań algebraicznych. Otrzymany w ten sposób układ równań rozwiązuje się numerycznie przy zastosowaniu elektronicznych maszyn cyfrowych.

Sformułowanie zagadnień brzegowych w postaci równań całkowych pozwala otrzymać pi/yhliżonc rozwiązanie problemu, a metoda postępowania nosi nazwę metody równań • ttikowyih. Metoda ta znajduje w ostatnich latach szerokie zastosowanie przy analizie pól elektromagnetycznych, bowiem umożliwia badanie układów o złożonej postaci.

11.5.2. Sprowadzanie równań całkowych do układu liniowych równań algebraicznych

Wiele zagadnień z zakresu analizy pól elektromagnetycznych prowadzi do równań całkowych Fred hol ma. Dwuwymiarowym równaniem całkowym Fredholma drugiego rodzaju nazywamy równanie o postaci

/(.v, v) + fj f (x'. y') K (,v, y, x'. y') djc'dy' = y (.v, y 1,    (IM23)

s

gdzie: ,v', y' są zmiennymi całkowania, c) jest funkcją znaną, określoną w obszarze zaś/D;, r) jest funkcją nieznaną w tym obszarze. Funkcja K(x.y,.x\y') nazywa się ntdretn równania całkowego i określona jest dla każdej pary punktów (_v, y) oraz (.v\ y') w ohsz.arzc Ó. Zakładamy, że wszystkie funkcje występujące w równaniu całkowym są całkowalne w obszarze S.

Dwuwymiarowym równaniem całkowym Fredholma pierwszego rodzaju nazywamy ró- nanie o postaci

JI / (*' s y') K (X, y, V, y¹') d.\'dy¹' = g (x, y).    (11.124)

S

Nieznana funkcja/(.r, y) występuje w tym równaniu tylko pod znakiem całki.

Trójwymiarowe równania całkowe Fredholma pierwszego i drugiego rodzaju mają postać podobną i dotyczą obszaru trójwymiarowego.

Metodę sprowadzania równań całkowych do układu liniowych równań algebraicznych przedstawimy na przykładzie równania (11.123).

Dzielimy obszar S na N obszarów elementarnych A.S',, Aó\,    i przedstawiamy

całkę w równaniu (] 1.123) w postaci sumy całek w poszczególnych obszarach elementarnych, wobec czego równanie to przybiera postać

./ (v. y H- V f |'/(.*'. r)Mv, y. v', y')dx’dy'=g(\, y).    (11.125)

u 1    \S„

Przyjmujemy, że w każdym obszarze dcmciitarnym tunkcja /(.v,y) jest stała i równa ./*.■ ,/* josi zatem równa przybliżonej wartości funkcji /(.v,y) w obszarze elementarnym